f(x)=x²−2x−1。

1. 恒等式 f(−1)+f(3)−2f(1)=8，而条件给出左边≤2+2+4=8。
2. 故必须同时取等：f(−1)=f(3)=2，f(1)=−2。解得 b=−2、c=−1。
3. 检验 f(x)=(x−1)²−2 在 [−1,3] 上的值域为 [−2,2]。

独立推导的参考解析，不是学生作答记录。

最小值为4；当 b=0、ac=−1 时取得。

1. 令 t=−ac>0，则原条件为 √(b²+4t)=b+2t。平方并整理得 4t=4bt+4t²；t>0，可除以4t，得到 t=1−b。
2. 代回后右端 b+2t=2−b>0，平方没有引入增根。目标 b²+4t=(b−2)²；b≤0 时最小值为4，在 b=0、t=1 时达到。
3. 例如 a=−1、b=0、c=1 满足全部原条件。

独立推导的参考解析，不是学生作答记录。

方程无整数解。

1. a为1至9的整数，b、c为0至9的整数；三位质数末位c≠0。对x≥0，ax²+bx+c>0，故整数根只能为−d，其中d为正整数。
2. 若−d是根，则c=d(b−ad)，故e=c/d=b−ad为正整数，且f(x)=(x+d)(ax+e)。
3. 于是质数p=f(10)=(10+d)(10a+e)，两个因子均为大于1的整数，矛盾。

独立推导的参考解析，不是学生作答记录。

对任意整数 x，f(x) 为整数。

1. 改写 f(x)=2a·x(x+1)/2−(a−b)x+c。
2. 两个连续整数的乘积为偶数，故 x(x+1)/2 为整数（负整数同样成立）；其余系数均为整数，因此整个式子为整数。

独立推导的参考解析，不是学生作答记录。

对任意整数 x，f(x) 为整数。

1. 恒等分解 f(x)=6a·(x³−x)/6+2b·x(x−1)/2+(a+b+c)x+d。
2. x³−x=(x−1)x(x+1) 是三个连续整数的乘积，必被6整除；x(x−1)必被2整除。因此每一项都是整数。

独立推导的参考解析，不是学生作答记录。

（1）示例y=x(x−1)/2；（2）不存在。

1. （1）两个连续整数乘积为偶数，故示例对全部整数x取整数值，且a=1/2。
2. （2）若整点抛物线存在，则f(1)+f(−1)−2f(0)=2a为整数。二次函数要求a≠0，所以|2a|≥1，即|a|≥1/2，矛盾。

独立推导的参考解析，不是学生作答记录。

最小值为4；当 b=0、ac=−1 时取得。

1. 令 t=−ac>0，则原条件为 √(b²+4t)=b+2t。平方并整理得 4t=4bt+4t²；t>0，可除以4t，得到 t=1−b。
2. 代回后右端 b+2t=2−b>0，平方没有引入增根。目标 b²+4t=(b−2)²；b≤0 时最小值为4，在 b=0、t=1 时达到。
3. 例如 a=−1、b=0、c=1 满足全部原条件。

独立推导的参考解析，不是学生作答记录。

b²−4ac>0。

1. 恒等变形：b²−4ac=(b−2a)²−4a(a−b+c)。
2. 第一项非负，第二项由已知条件严格为正，因此 b²−4ac>0。也可把 a(a−b+c)=a·f(−1)<0 看作两根分居 −1 两侧，从而判别式为正。

独立推导的参考解析，不是学生作答记录。

两端不等式成立。

1. 实根条件b²≥4ac，故b≥2√(ac)。设小者为m，则a+c≥2m、b≥2m，得到和≥4m。a=c=m、b=2m时下界取等。
2. 为证上界，以M=max{a,b,c}归一化，令A=a/M、B=b/M、C=c/M，均在(0,1]，且AC≤B²/4。
3. 由(1−A)(1−C)≥0得A+C≤1+AC。因此A+B+C≤1+B+B²/4≤9/4。取A=1、B=1、C=1/4时上界取等。

独立推导的参考解析，不是学生作答记录。

（1）m₁、m₂为−3m²+(4b+4−2a)m+a²−4b=0的两根，且m₁<1<m₂；（2）（3）所述不等式成立。

1. （1）f−mg=(1−m)x²+(a−m)x+b−m。令其判别式D(m)=(a−m)²−4(1−m)(b−m)=−3m²+(4b+4−2a)m+a²−4b。
2. D(1)=(a−1)²>0，而D(m)在m趋于正负无穷时均趋于负无穷，故有两个不同零点m₁<1<m₂。两者都不等于1，方程保持二次，判别式为0，所以各有重实根。
3. （2）在m₁处，首项系数1−m₁>0且判别式0，故f−m₁g≥0；在m₂处首项系数负，故f−m₂g≤0，得到夹逼。
4. （3）a²−4b=−3，故f恒正；g=(x+1/2)²+3/4恒正。D的根积m₁m₂=1，结合m₁<1<m₂，得0<m₁<1<m₂。
5. 令u=√(f/g)，则√m₁≤u≤√m₂。下界由(u−1)²≥0得u²+1≥2u；上界由(u−√m₁)(u−√m₂)≤0及√(m₁m₂)=1得u²+1≤(√m₁+√m₂)u。两边乘g>0即得结论。

独立推导的参考解析，不是学生作答记录。

a=1/3。

1. a≠0。韦达定理给SP=6(a−1)²/a²=24，故a=−1或1/3。
2. Δ=−4(a−1)(2a+1)>0；a=−1不满足，a=1/3满足。

独立推导的参考解析，不是学生作答记录。

−3<m<0。

1. 异号两根要求 (2m−1)/(m+3)<0，得到 −3<m<1/2；该条件已保证两实根不同且 m≠−3。
2. 负根的绝对值较大等价于两根之和小于 0，即 4m/(m+3)<0。在前述区间分母为正，故 m<0。交集为 (−3,0)。

独立推导的参考解析，不是学生作答记录。

1<a+b<4/3。

1. 设 s=a+b=1−c。由 a²+b²=1−c² 得 ab=c²−c。因此 a、b 是 t²−(1−c)t+c²−c=0 的两根。
2. a>b 要求 D=1+2c−3c²=(1−c)(1+3c)>0，即 −1/3<c<1。较小根 b=(1−c−√D)/2 还须大于 c，所以 1−3c>√D。
3. 先要求 c<1/3，再平方得 4c(3c−2)>0。在 −1/3<c<1/3 内只能取 −1/3<c<0。反过来，此区间保证以上所有严格不等式，故范围完整。
4. 于是 s=1−c 的范围是 (1,4/3)。两个端点分别导致 b=c 或 a=b，不能取。

独立推导的参考解析，不是学生作答记录。

−1≤a−2b≤5。

1. 由韦达定理，a−2b=x₁+x₂−2x₁x₂。这是分别关于每个变量的一次式，矩形区域上的最大最小值在顶点取得。
2. 四顶点 (−1,1)、(−1,2)、(1,1)、(1,2) 对应 2、5、0、−1。故范围为 [−1,5]，所有值由连续性取得。

独立推导的参考解析，不是学生作答记录。

−3。

1. 设 f(x)=ax²+bx−3，a≠0。根和x₁+x₂=−b/a，代入得 f(−b/a)=b²/a−b²/a−3=−3。

独立推导的参考解析，不是学生作答记录。

(a,b)=(0,−4)或(−4,0)。

1. 设四根依次r、r+d、r+2d、r+3d，d>0。两方程在x=1的值都为1+a+b，且不能为0（否则共享根1），因此根据四根分为两组的三种方式分类。
2. 若外侧两根配一组、内侧两根配一组，两组根和相同推出a=b，两抛物线相同，与4根互异矛盾。
3. 若相邻配对：一组r,r+d，另一组r+2d,r+3d，由x=1处两乘积相等得r=1−3d/2。根和给出a=−2+2d、b=−2−2d（或交换），根积再给出3+3d²/4=0，不可能。
4. 若交错配对：一组r,r+2d，另一组r+d,r+3d，同理r=1−3d/2。根和为−a=2−d、−b=2+d；根积与另一系数相等给出3−3d²/4=0，故d=2，得到(0,−4)或交换。
5. 检验两式为x²−4与x²−4x，根为−2、0、2、4，确有4个等距不同交点。

独立推导的参考解析，不是学生作答记录。

（1）（2）成立；（3）√3<L<2 或 2<L<2√3，其中L=A₁B₁。

1. 由a>b>c及和0得a>0,c<0。令t=b/a，则a>b给t<1，b>c=−a−b给t>−1/2。原题还称g为一次函数，故b≠0，即t≠0。
2. 交点横坐标解ax²+2bx+c=0，除以a得x²+2tx−1−t=0，两根为−t±√(t²+t+1)。根号内=(t+1/2)²+3/4>0，故两交点不同。
3. 大根小于2等价于√(t²+t+1)<t+2；右边>0，平方后差为(t+2)²−(t²+t+1)=3(t+1)>0，所以两根都<2。
4. x轴投影长度等于两横坐标之差L=2√((t+1/2)²+3/4)。在−1/2<t<1时此式严格递增，整体范围为(√3,2√3)，但t=0被一次函数条件排除且唯一对应L=2，因此最终为(√3,2)∪(2,2√3)。

独立推导的参考解析，不是学生作答记录。

对所有实数 a，方程在 (0,1) 内至少有一个实根。

1. 令左端为 f(x)。f(0)=5a²+4>0，而 f(1)=−a²−2a−2=−(a+1)²−1<0。
2. 多项式函数连续，所以在 (0,1) 内至少有一个零点。此方法不要求二次项系数非零；a=0 时方程退化为 −6x+4=0，根为 2/3，同样符合结论。

独立推导的参考解析，不是学生作答记录。

m=0，或 7/4<m≤25/12。

1. 先检查退化：m=0 时，−10x+22=0 的唯一根为 11/5，符合。
2. m≠0 时需有实根，判别式 Δ=4(25−12m)≥0；对称轴 x=1+5/m 必须在 (2,5) 内。后者排除 m<0，并得到 5/4<m<5。
3. 此时 m>0，还需 f(2)=m+2>0、f(5)=16m−28>0，故 m>7/4。结合判别式得 7/4<m≤25/12。
4. m=25/12 时两根重合在 x=17/5，仍在区间内；m=7/4 时有根 5，排除。这里“所有根”按存在实根且全部实根在该区间理解。

独立推导的参考解析，不是学生作答记录。

m=1，或 m>2。

1. 恒等分解：[(1−m)x+1][(1+m)x−1]=0。
2. m≠±1 时两个根为 1/(m+1)、1/(m−1)。两者都在 (0,1) 内，分别要求 m>0 与 m>2，合并为 m>2。
3. m=1 时原式为 2x−1=0，唯一根 1/2 符合；m=−1 时根 −1/2 不符合。m=2 有根 1，须排除。

独立推导的参考解析，不是学生作答记录。

存在 x₀∈(0,1) 使 ax₀²+bx₀+c=0。

1. m>0 保证三个分母均非零。设 t=(m+1)/(m+2)，则 0<t<1，由条件 b=−(m+1)[a/(m+2)+c/m]。
2. 令 f(x)=ax²+bx+c，代入得到 f(t)=−c/[m(m+2)]。若 c≠0，则 f(0)f(t)=−c²/[m(m+2)]<0，连续性保证在 (0,t) 内有根。
3. 若 c=0 且 a>0，则 f(x)=ax[x−(m+1)/(m+2)]，t 就是所需根。若 a=c=0，条件给出 b=0，原式恒为零，可取 x₀=1/2。

独立推导的参考解析，不是学生作答记录。

(1,3)、(−2−√17,13/4)、(−2+√17,−2+√17)、(−2−√17,−2−√17)。

1. 原题允许 a=b。此时 f(a)=2a，解 a²+4a−13=0，得到两个单点区间解。
2. 以下设 a<b。若 0≤a<b，函数递减，所以 a²+4b=13，b²+4a=13。相减得 (a−b)(a+b−4)=0，故 a+b=4，解得 (a,b)=(1,3)。
3. 若 a<b≤0，函数递增，要求 f(a)=2a、f(b)=2b。但这两个等式在非正数中仅有同一解 −2−√17，与 a<b 矛盾。
4. 若 a<0<b，最大值为13/2，故 b=13/4。若 |a|≤b，则最小值 f(b)=39/32>0，迫使 a>0，矛盾。故 |a|>b，最小值为 f(a)=2a，取负根 a=−2−√17；确有 |a|>13/4。

独立推导的参考解析，不是学生作答记录。

至少有一根在(0,1)。

1. 由条件b=−3a/4−3c/2。令f(x)=ax²+bx+c，则f(0)=c，f(3/4)=−c/8。
2. c≠0时两值异号，连续性保证(0,3/4)内有根。
3. c=0时f(x)=ax(x−3/4)；a≠0可取x₀=3/4，a=0则b=0、原式恒为零，可取x₀=1/2。

独立推导的参考解析，不是学生作答记录。

（1）m=2。（2）一次：a=0,b≠0,c任意；正比例：a=0,b≠0,c=0；二次：a≠0,b和c任意。

1. （1）二次项指数需m²−m=2，解得m=2或−1。还需其系数m²+m≠0，排除m=−1，故m=2。
2. （2）函数类型由最高非零项决定：一次项必须非零才是一次函数；正比例还需常数项为零；二次函数必须a≠0。

独立推导的参考解析，不是学生作答记录。

(a,b)=(0,−4)或(−4,0)。

1. 设四根依次r、r+d、r+2d、r+3d，d>0。两方程在x=1的值都为1+a+b，且不能为0（否则共享根1），因此根据四根分为两组的三种方式分类。
2. 若外侧两根配一组、内侧两根配一组，两组根和相同推出a=b，两抛物线相同，与4根互异矛盾。
3. 若相邻配对：一组r,r+d，另一组r+2d,r+3d，由x=1处两乘积相等得r=1−3d/2。根和给出a=−2+2d、b=−2−2d（或交换），根积再给出3+3d²/4=0，不可能。
4. 若交错配对：一组r,r+2d，另一组r+d,r+3d，同理r=1−3d/2。根和为−a=2−d、−b=2+d；根积与另一系数相等给出3−3d²/4=0，故d=2，得到(0,−4)或交换。
5. 检验两式为x²−4与x²−4x，根为−2、0、2、4，确有4个等距不同交点。

独立推导的参考解析，不是学生作答记录。

（1）m=(5−√17)/2；（2）最大值10。

1. 判别式4(1−m)>0，故−1≤m<1。由韦达定理S=4−2m，P=m²−3m+3。
2. （1）S²−2P=2m²−10m+10=6，筛去大于1的根。
3. （2）分母乘积1−S+P=m(m−1)，须另排除m=0。通分得m(S²−2P−PS)/(1−S+P)=2m²−6m+2。
4. 该函数在[−1,1)递减，在m=−1取得10，分母非零。

独立推导的参考解析，不是学生作答记录。

a=1/3。

1. a≠0。韦达定理给SP=6(a−1)²/a²=24，故a=−1或1/3。
2. Δ=−4(a−1)(2a+1)>0；a=−1不满足，a=1/3满足。

独立推导的参考解析，不是学生作答记录。

两结论均成立。

1. （1）c=st，故|c|=|s||t|<4。
2. （2）f(2)=(2−s)(2−t)>0，f(−2)=(2+s)(2+t)>0，得4+c>2|b|≥|b|，故所证不等式成立。

独立推导的参考解析，不是学生作答记录。

−4/5<m<0。

1. m=0 退化为 3x²=0，不能符合。令 t=x²，两个 t 根记为 u<v，原四根为 −√v、−√u、√u、√v。
2. 条件等价于 0<u<1、v>4；且 u v=3。只要4位于两个 t 根之间，就有 v>4、u=3/v∈(0,3/4)，自动满足。
3. 除以 m 后，t方程为 F(t)=t²−(1−3/m)t+3=0。要求 F(4)=15+12/m<0，解得 −4/5<m<0。此时4在根间，乘积3保证另一根也正。端点 m=−4/5 有原根−2，不取。

独立推导的参考解析，不是学生作答记录。

k=7/4。

1. 方程是偶函数方程，四个实根关于0成对对称。按大小排列为−3t、−t、t、3t，t>0。t=0会使四根全为0，与x²项系数−5矛盾。
2. 令u=x²，方程u²−5u+4−k=0，两根t²、9t²，故10t²=5，即t²=1/2。
3. 根积9t⁴=4−k=9/4，故k=7/4。代回四根为±1/√2、±3/√2，确成等差数列。

独立推导的参考解析，不是学生作答记录。

取值集合为{1}。

1. 原题已经给出a²+b²=1，因此目标只能等于1。
2. 条件确有解，例如a=4/5、b=3/5、c=−2/5，满足a>b>c、和为1以及a²+b²=1。

独立推导的参考解析，不是学生作答记录。

（1）m₁、m₂为−3m²+(4b+4−2a)m+a²−4b=0的两根，且m₁<1<m₂；（2）（3）所述不等式成立。

1. （1）f−mg=(1−m)x²+(a−m)x+b−m。令其判别式D(m)=(a−m)²−4(1−m)(b−m)=−3m²+(4b+4−2a)m+a²−4b。
2. D(1)=(a−1)²>0，而D(m)在m趋于正负无穷时均趋于负无穷，故有两个不同零点m₁<1<m₂。两者都不等于1，方程保持二次，判别式为0，所以各有重实根。
3. （2）在m₁处，首项系数1−m₁>0且判别式0，故f−m₁g≥0；在m₂处首项系数负，故f−m₂g≤0，得到夹逼。
4. （3）a²−4b=−3，故f恒正；g=(x+1/2)²+3/4恒正。D的根积m₁m₂=1，结合m₁<1<m₂，得0<m₁<1<m₂。
5. 令u=√(f/g)，则√m₁≤u≤√m₂。下界由(u−1)²≥0得u²+1≥2u；上界由(u−√m₁)(u−√m₂)≤0及√(m₁m₂)=1得u²+1≤(√m₁+√m₂)u。两边乘g>0即得结论。

独立推导的参考解析，不是学生作答记录。

（1）m=2。（2）一次：a=0,b≠0,c任意；正比例：a=0,b≠0,c=0；二次：a≠0,b和c任意。

1. （1）二次项指数需m²−m=2，解得m=2或−1。还需其系数m²+m≠0，排除m=−1，故m=2。
2. （2）函数类型由最高非零项决定：一次项必须非零才是一次函数；正比例还需常数项为零；二次函数必须a≠0。

独立推导的参考解析，不是学生作答记录。

（1）m=−√5；（2）m=−3；（3）B。

1. （1）m²−3=2得m=±√5。左侧递减要求开口向上，即2−m>0，所以取−√5。
2. （2）5−2m−m²=2得m=1或−3。右侧递减要求m−1<0，且m=1会令系数为零，故m=−3。
3. （3）0<a−1<a<a+1，y=−x²在正半轴递减，因此y₃<y₂<y₁。

独立推导的参考解析，不是学生作答记录。

依次为：2；0；−1；1；−2；0或4。

1. 配方y=(x−k/2)²−(k−2)²/4，顶点为(k/2,−(k−2)²/4)。
2. （1）顶点纵坐标0，得k=2；（2）横坐标0，得k=0；（3）代x=−1得y=2k=−2，k=−1；（4）代x=0得k−1=0，k=1。
3. （5）对称轴k/2=−1，k=−2；（6）−(k−2)²/4=−1，k=0或4。

独立推导的参考解析，不是学生作答记录。

（1）2x²−x−1；（2）4(x−1)²−3；（3）(x+3)(x−5)/5；（4）(x−3)²/2−2。

1. （1）设一般式，由c=−1、a+b=1、a−b=3得a=2,b=−1。
2. （2）设a(x−1)²−3，代入(0,1)得a=4。
3. （3）设a(x+3)(x−5)，代入(0,−3)得a=1/5。
4. （4）两根关于x=3对称且距离4，故根为1、5；代入顶点式a(x−3)²−2，在x=1处0=4a−2，a=1/2。

独立推导的参考解析，不是学生作答记录。

（1）m=−√5；（2）m=−3；（3）B。

1. （1）m²−3=2得m=±√5。左侧递减要求开口向上，即2−m>0，所以取−√5。
2. （2）5−2m−m²=2得m=1或−3。右侧递减要求m−1<0，且m=1会令系数为零，故m=−3。
3. （3）0<a−1<a<a+1，y=−x²在正半轴递减，因此y₃<y₂<y₁。

独立推导的参考解析，不是学生作答记录。

f(5)<f(−1)<f(2)

1. 根为−2、4，a<0，对称轴为1。三点距轴分别为2、1、4；开口向下时离轴越远值越小。

独立推导的参考解析，不是学生作答记录。

（1）a=√2；（2）第三象限；（3）−1<a+b+c<0。

1. （1）图像开口向上且过原点，故a>0、a²−2=0，取a=√2。
2. （2）开口向下a<0，对称轴在y轴左侧，−b/(2a)<0。因2a<0，得b<0，所以(a,b)在第三象限。
3. （3）a+b+c=f(1)。原图在x=1处的曲线位于y=−1与x轴之间，因此−1<f(1)<0。

独立推导的参考解析，不是学生作答记录。

依次：负、正、正、正、正、负、正。

1. 开口向下a<0，对称轴x=1给b=−2a>0；图像与y轴交于正半轴，所以c>0；有两个不同x轴交点，所以判别式>0。
2. a+b+c=f(1)为正的最大值；图上−1在左根左侧，因此a−b+c=f(−1)<0。
3. 由b=−2a，3b−2c=−2(3a+c)=−2(a−b+c)>0。

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（1）依次正、负、负、正、正、负、正；（2）①②③④均正确。

1. （1）开口向上a>0；对称轴h在0与1之间，故b<0、2a+b=2a(1−h)>0；y轴截距c<0；两个不同实根使Δ>0。图示−1在左根外，1在两根内，故f(−1)>0、f(1)<0。
2. （2）开口向下，−2在左根外，故f(−2)=4a−2b+c<0，①成立。对称轴h=(x₁+x₂)/2>−1，而h=−b/(2a)、a<0，故2a−b<0，②成立。
3. 又f(1)<0而f(−1)=2，所以2b=f(1)−f(−1)<−2，③成立。顶点在−1右侧，最大值严格大于f(−1)=2；即−Δ/(4a)>2，因a<0可得Δ+8a>0，④成立。

独立推导的参考解析，不是学生作答记录。

0<abc≤1/4。

1. 图示a>0、b<0、c<0；B=(0,c)，OA=OB推出A=(c,0)。代入f(c)=0得c(ac+b+1)=0，故ac=−b−1。
2. 因为ac<0，结合b<0得−1<b<0。于是abc=−b²−b=1/4−(b+1/2)²，范围为(0,1/4]。
3. 当b=−1/2时取等；任取a>0、c=−1/(2a)，所有图示与截距条件均满足。

独立推导的参考解析，不是学生作答记录。

（1）向右3、向上7；（2）向右2、向下5。

1. 比较顶点：(−1,−4)移到(2,3)。
2. −x²−4x+1=−(x+2)²+5，顶点(−2,5)移到(0,0)。

独立推导的参考解析，不是学生作答记录。

y=−ax²+bx−c

1. 关于y轴把x换为−x，关于x轴把函数值取负，故为−f(−x)。

独立推导的参考解析，不是学生作答记录。

（1）y=−ax²+8ax−16a+1；（2）a=1或−4/5。

1. 中心对称后函数为−f(2−x)=−a(x−4)²+1。
2. 两纵截距为4a−1与1−16a，|20a−2|=18，得a=1或−4/5。

独立推导的参考解析，不是学生作答记录。

k>1，−2(k−1)≤m≤0≤n≤1+√(1−2km)，且 m<n。

1. 先用 f(m)≥km，得到 m[m+2(k−1)]≤0，即 −2(k−1)≤m≤0。
2. 若 n<0，由 f(n)≤kn 得 n[n+2(k−1)]≥0，故 n≤−2(k−1)≤m，与 n>m 矛盾。因此 n≥0。
3. 开口向下的函数在 [m,n] 的最小值位于端点。m端条件已满足，另一端 f(n)≥km 化为 n²−2n+2km≤0。结合 n≥0 得 n≤1+√(1−2km)。
4. 上界自动满足：若 n≤1，函数在 [m,n] 递增，f(x)≤f(n)=n−n²/2≤n≤kn；若 n>1，f(x)≤1/2<kn。故所列条件既必要又充分。

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(1,3)、(−2−√17,13/4)、(−2+√17,−2+√17)、(−2−√17,−2−√17)。

1. 原题允许 a=b。此时 f(a)=2a，解 a²+4a−13=0，得到两个单点区间解。
2. 以下设 a<b。若 0≤a<b，函数递减，所以 a²+4b=13，b²+4a=13。相减得 (a−b)(a+b−4)=0，故 a+b=4，解得 (a,b)=(1,3)。
3. 若 a<b≤0，函数递增，要求 f(a)=2a、f(b)=2b。但这两个等式在非正数中仅有同一解 −2−√17，与 a<b 矛盾。
4. 若 a<0<b，最大值为13/2，故 b=13/4。若 |a|≤b，则最小值 f(b)=39/32>0，迫使 a>0，矛盾。故 |a|>b，最小值为 f(a)=2a，取负根 a=−2−√17；确有 |a|>13/4。

独立推导的参考解析，不是学生作答记录。

1/4≤a≤2。

1. 公共点要求某个x∈[1,2]满足1≤ax²≤2，所以a>0。此时ax²在[1,2]上的值域为[a,4a]，与[1,2]有交集当且仅当a≤2且4a≥1。
2. 故a∈[1/4,2]。端点分别在顶点(2,1)、(1,2)接触正方形，均可取。

独立推导的参考解析，不是学生作答记录。

（1）最小1，无最大值；（2）最小1，最大5；（3）最小1，最大13/4；（4）最小5，最大10。

1. 配方y=(x+1)²+1。顶点x=−1；在各区间检查顶点是否包含，再比较端点值。

独立推导的参考解析，不是学生作答记录。

最大29/10，最小−2。

1. y²=(1−x²)/2且−1≤x≤1。目标为−(5/2)(x−2/5)²+29/10。
2. x=2/5、y=±√42/10取最大；x=−1、y=0取最小。

独立推导的参考解析，不是学生作答记录。

t<0时S=t²+1；0≤t≤1时S=1；t>1时S=(t−1)²+1；S∈[1,+∞)。

1. y=(x−1)²+1。区间在顶点左侧、包含顶点、在顶点右侧分别取右端点、顶点、左端点。

独立推导的参考解析，不是学生作答记录。

（1）−4≤m≤2；（2）最大101，最小43/4。

1. 开口向上，两根跨越[−1,1]等价于F(−1)=−m−4≤0及F(1)=3m−6≤0。
2. 根平方和=(1−2m)²−2(m−6)=4m²−6m+13=4(m−3/4)²+43/4。顶点在范围内，最小43/4；端点值101、17，最大101。

独立推导的参考解析，不是学生作答记录。

（1）m=(5−√17)/2；（2）最大值10。

1. 判别式4(1−m)>0，故−1≤m<1。由韦达定理S=4−2m，P=m²−3m+3。
2. （1）S²−2P=2m²−10m+10=6，筛去大于1的根。
3. （2）分母乘积1−S+P=m(m−1)，须另排除m=0。通分得m(S²−2P−PS)/(1−S+P)=2m²−6m+2。
4. 该函数在[−1,1)递减，在m=−1取得10，分母非零。

独立推导的参考解析，不是学生作答记录。

a≤−144，b≤−24，c≥24，且b=a/6、c=−a/6。

1. 设f(x)=a(x+1/2)(x−1/3)，a<0，因此b=a/6、c=−a/6。
2. 轴为−1/12，最大值−25a/144。与y=25相交等价于−25a/144≥25，得a≤−144。三系数不能独立选择，还需保持给定比例。

独立推导的参考解析，不是学生作答记录。

M 的最小值为 1/2，当 a=1/2 时取得。

1. x² 遍历 [0,1]，故 M=max{|a|,|1−a|}。
2. 由 |a|+|1−a|≥1 得 M≥1/2。a=1/2 时，两项都为1/2，故下界达到。

独立推导的参考解析，不是学生作答记录。

f(x)=x²−2x−1。

1. 恒等式 f(−1)+f(3)−2f(1)=8，而条件给出左边≤2+2+4=8。
2. 故必须同时取等：f(−1)=f(3)=2，f(1)=−2。解得 b=−2、c=−1。
3. 检验 f(x)=(x−1)²−2 在 [−1,3] 上的值域为 [−2,2]。

独立推导的参考解析，不是学生作答记录。

(p,q)=(−6,7)。

1. 记f=x²+px+q，则f(1)+f(5)−2f(3)=8。各项有界给左侧≤2+2+4=8，所以必须f(1)=f(5)=2、f(3)=−2。
2. 由两端相等得p=−6，再得q=7。验证f(x)=(x−3)²−2在[1,5]值域[−2,2]。

独立推导的参考解析，不是学生作答记录。

y=2x²−4x+4。

1. 令 t=x−1，上下界为t²+2与3t²+2。在t=0时y=2。设y=A t²+B t+2。
2. 下界要求(A−1)t²+B t≥0对所有实数t成立，故B=0；上下界于是给出1≤A≤3。
3. 点(3,10)对应t=2，故4A+2=10，A=2。还原并检验得到所求式。

独立推导的参考解析，不是学生作答记录。

最小值3，在b=4a、c=4a、a>0时取得。

1. y≥0按对所有实数x成立理解，故a>0、c≥b²/(4a)。令t=b/a>1，目标≥(1+t+t²/4)/(t−1)。
2. 令u=t−1>0，右式=u/4+3/2+9/(4u)≥3，等号在u=3，即t=4时取得。
3. 取b=4a、c=4a，函数a(x+2)²恒非负，目标确为3。

独立推导的参考解析，不是学生作答记录。

两端不等式成立。

1. 实根条件b²≥4ac，故b≥2√(ac)。设小者为m，则a+c≥2m、b≥2m，得到和≥4m。a=c=m、b=2m时下界取等。
2. 为证上界，以M=max{a,b,c}归一化，令A=a/M、B=b/M、C=c/M，均在(0,1]，且AC≤B²/4。
3. 由(1−A)(1−C)≥0得A+C≤1+AC。因此A+B+C≤1+B+B²/4≤9/4。取A=1、B=1、C=1/4时上界取等。

独立推导的参考解析，不是学生作答记录。

f(x)可为2x²+5x+3、3x²+7x+3、4x²+7x+3、4x²+8x+3、5x²+8x+3。

1. 上下界给0<a≤8、2≤c≤4。两侧差函数非负要求(b−4)²≤4a(c−2)；a<8时还要求(8−b)²≤4(8−a)(4−c)，a=8时须b=8。
2. 两不同根均在(−2,0)等价于Δ>0、0<b<4a、c>0、4a−2b+c>0。
3. 若c=2，则b=4，上述根条件要求3/2<a<2，无整数；若c=4，则b=8，根条件要求3<a<4，无整数。
4. 所以c=3。枚举1≤a≤8，并联立(b−4)²≤4a、(8−b)²≤4(8−a)、b²>12a、0<b<4a、b<(4a+3)/2，得到(a,b)=(2,5),(3,7),(4,7),(4,8),(5,8)。逐组代入不等式均满足。

独立推导的参考解析，不是学生作答记录。

(m,n)=(3,2)或(6,1)（重根时将两根距离记为0）。

1. 因式分解得两组根(−3,mt)、(−n,2t)，所以d₁=|mt+3|，d₂=|2t+n|。
2. 取t=−3/m得n=6/m。此时d₂=(2/m)|mt+3|，恒成立要求m≥2；结合m≠2和正整数mn=6，得两组。

独立推导的参考解析，不是学生作答记录。

1≤m<19。

1. 二次项非零时要求(m−1)(m+5)>0且Δ=4(m−1)(m−19)<0，交得1<m<19。
2. 二次项为0时m=1或−5。m=1给常数3>0成立；m=−5给24x+3>0不能恒成立。

独立推导的参考解析，不是学生作答记录。

0≤k≤1。

1. 根号内=k(x−3)²+8−8k。k<0时向负无穷，不能非负；k=0时等于8；k>0时要求最小值8−8k≥0。

独立推导的参考解析，不是学生作答记录。

x<−1或x>3。

1. 固定x后左减右为x²−4x+3+p(x−1)，是关于p的一次函数。只需两个端点p=0、4均严格为正。
2. 联立(x−1)(x−3)>0及(x−1)(x+1)>0，交集为x<−1或x>3。

独立推导的参考解析，不是学生作答记录。

7/2<a<5

1. 存在最大值要求a>3；a=3时为非常数一次函数。
2. 最大值为−4+(a−2)²/(a−3)。要求2(a−2)²<9(a−3)，化为(2a−7)(a−5)<0。

独立推导的参考解析，不是学生作答记录。

p=1，f(x)=−2(x−1)²+5。

1. p²+16p+13=f(p)+g(p)=30，p=1或−17，取p=1。
2. 设f(x)=A(x−1)²+5(A<0)，则g(x)=(1−A)x²+(16+2A)x+8−A。
3. g(x)+2的最小值为0，判别式为0，即216+108A=0，故A=−2；g(x)=3(x+2)²−2。

独立推导的参考解析，不是学生作答记录。

（1）0<a≤2时m=a/2−a²/4；a>2时m=1−a/2。（2）m无最小值。

1. 顶点为x=a/2。落在区间内时取顶点值；a>2时函数在[0,1]递减，取f(1)。
2. a趋向正无穷时1−a/2趋向负无穷，因此按原题所给a>0，m无下界。

独立推导的参考解析，不是学生作答记录。

k<−4 或 k>0。

1. 令 f(x)=2kx²−2x−3k−2，二次项系数 A=2k。两根分居 1 两侧，当且仅当 A·f(1)<0。
2. f(1)=−k−4，所以 −2k(k+4)<0，即 k(k+4)>0，得到 k<−4 或 k>0。边界 k=−4 有根 1；k=0 退化为一次方程，均不符合。

独立推导的参考解析，不是学生作答记录。

−1<m<0。

1. 令 A=1−m²。两根分居 0 两侧要求 A·f(0)<0；f(0)=−1，因此 A>0，即 −1<m<1。
2. 此时抛物线开口向上，1 仍须位于两根之间，故 f(1)=m(2−m)<0。在 −1<m<1 内得到 m<0，故 −1<m<0。

独立推导的参考解析，不是学生作答记录。

−12<a<0。

1. 抛物线开口向上。要在 (−2,0) 与 (1,3) 各有一根，需 f(−2)>0、f(0)<0、f(1)<0、f(3)>0。两个区间各有一次符号变化，足以保证两根位置。
2. 四条件依次为 a+22>0、a<0、a−2<0、a+12>0。交集为 −12<a<0；端点会使根落在区间端点，不能取。

独立推导的参考解析，不是学生作答记录。

m=0，或 7/4<m≤25/12。

1. 先检查退化：m=0 时，−10x+22=0 的唯一根为 11/5，符合。
2. m≠0 时需有实根，判别式 Δ=4(25−12m)≥0；对称轴 x=1+5/m 必须在 (2,5) 内。后者排除 m<0，并得到 5/4<m<5。
3. 此时 m>0，还需 f(2)=m+2>0、f(5)=16m−28>0，故 m>7/4。结合判别式得 7/4<m≤25/12。
4. m=25/12 时两根重合在 x=17/5，仍在区间内；m=7/4 时有根 5，排除。这里“所有根”按存在实根且全部实根在该区间理解。

独立推导的参考解析，不是学生作答记录。

1<a+b<4/3。

1. 设 s=a+b=1−c。由 a²+b²=1−c² 得 ab=c²−c。因此 a、b 是 t²−(1−c)t+c²−c=0 的两根。
2. a>b 要求 D=1+2c−3c²=(1−c)(1+3c)>0，即 −1/3<c<1。较小根 b=(1−c−√D)/2 还须大于 c，所以 1−3c>√D。
3. 先要求 c<1/3，再平方得 4c(3c−2)>0。在 −1/3<c<1/3 内只能取 −1/3<c<0。反过来，此区间保证以上所有严格不等式，故范围完整。
4. 于是 s=1−c 的范围是 (1,4/3)。两个端点分别导致 b=c 或 a=b，不能取。

独立推导的参考解析，不是学生作答记录。

b²−4ac>0。

1. 恒等变形：b²−4ac=(b−2a)²−4a(a−b+c)。
2. 第一项非负，第二项由已知条件严格为正，因此 b²−4ac>0。也可把 a(a−b+c)=a·f(−1)<0 看作两根分居 −1 两侧，从而判别式为正。

独立推导的参考解析，不是学生作答记录。

x₁<a<x₂。

1. 令 f(x)=(x−a)(x−a−b)−1，开口向上且 f(a)=−1<0。
2. 所以 a 严格位于两个零点之间。亦可写 f(a)=(a−x₁)(a−x₂)<0，结合 x₁<x₂ 即得 x₁<a<x₂。

独立推导的参考解析，不是学生作答记录。

m=1，或 m>2。

1. 恒等分解：[(1−m)x+1][(1+m)x−1]=0。
2. m≠±1 时两个根为 1/(m+1)、1/(m−1)。两者都在 (0,1) 内，分别要求 m>0 与 m>2，合并为 m>2。
3. m=1 时原式为 2x−1=0，唯一根 1/2 符合；m=−1 时根 −1/2 不符合。m=2 有根 1，须排除。

独立推导的参考解析，不是学生作答记录。

−4/5<m<0。

1. m=0 退化为 3x²=0，不能符合。令 t=x²，两个 t 根记为 u<v，原四根为 −√v、−√u、√u、√v。
2. 条件等价于 0<u<1、v>4；且 u v=3。只要4位于两个 t 根之间，就有 v>4、u=3/v∈(0,3/4)，自动满足。
3. 除以 m 后，t方程为 F(t)=t²−(1−3/m)t+3=0。要求 F(4)=15+12/m<0，解得 −4/5<m<0。此时4在根间，乘积3保证另一根也正。端点 m=−4/5 有原根−2，不取。

独立推导的参考解析，不是学生作答记录。

（1）依次正、负、负、正、正、负、正；（2）①②③④均正确。

1. （1）开口向上a>0；对称轴h在0与1之间，故b<0、2a+b=2a(1−h)>0；y轴截距c<0；两个不同实根使Δ>0。图示−1在左根外，1在两根内，故f(−1)>0、f(1)<0。
2. （2）开口向下，−2在左根外，故f(−2)=4a−2b+c<0，①成立。对称轴h=(x₁+x₂)/2>−1，而h=−b/(2a)、a<0，故2a−b<0，②成立。
3. 又f(1)<0而f(−1)=2，所以2b=f(1)−f(−1)<−2，③成立。顶点在−1右侧，最大值严格大于f(−1)=2；即−Δ/(4a)>2，因a<0可得Δ+8a>0，④成立。

独立推导的参考解析，不是学生作答记录。

（1）（2）成立；（3）√3<L<2 或 2<L<2√3，其中L=A₁B₁。

1. 由a>b>c及和0得a>0,c<0。令t=b/a，则a>b给t<1，b>c=−a−b给t>−1/2。原题还称g为一次函数，故b≠0，即t≠0。
2. 交点横坐标解ax²+2bx+c=0，除以a得x²+2tx−1−t=0，两根为−t±√(t²+t+1)。根号内=(t+1/2)²+3/4>0，故两交点不同。
3. 大根小于2等价于√(t²+t+1)<t+2；右边>0，平方后差为(t+2)²−(t²+t+1)=3(t+1)>0，所以两根都<2。
4. x轴投影长度等于两横坐标之差L=2√((t+1/2)²+3/4)。在−1/2<t<1时此式严格递增，整体范围为(√3,2√3)，但t=0被一次函数条件排除且唯一对应L=2，因此最终为(√3,2)∪(2,2√3)。

独立推导的参考解析，不是学生作答记录。

（1）−4≤m≤2；（2）最大101，最小43/4。

1. 开口向上，两根跨越[−1,1]等价于F(−1)=−m−4≤0及F(1)=3m−6≤0。
2. 根平方和=(1−2m)²−2(m−6)=4m²−6m+13=4(m−3/4)²+43/4。顶点在范围内，最小43/4；端点值101、17，最大101。

独立推导的参考解析，不是学生作答记录。

f(x)可为2x²+5x+3、3x²+7x+3、4x²+7x+3、4x²+8x+3、5x²+8x+3。

1. 上下界给0<a≤8、2≤c≤4。两侧差函数非负要求(b−4)²≤4a(c−2)；a<8时还要求(8−b)²≤4(8−a)(4−c)，a=8时须b=8。
2. 两不同根均在(−2,0)等价于Δ>0、0<b<4a、c>0、4a−2b+c>0。
3. 若c=2，则b=4，上述根条件要求3/2<a<2，无整数；若c=4，则b=8，根条件要求3<a<4，无整数。
4. 所以c=3。枚举1≤a≤8，并联立(b−4)²≤4a、(8−b)²≤4(8−a)、b²>12a、0<b<4a、b<(4a+3)/2，得到(a,b)=(2,5),(3,7),(4,7),(4,8),(5,8)。逐组代入不等式均满足。

独立推导的参考解析，不是学生作答记录。

两结论均成立。

1. （1）c=st，故|c|=|s||t|<4。
2. （2）f(2)=(2−s)(2−t)>0，f(−2)=(2+s)(2+t)>0，得4+c>2|b|≥|b|，故所证不等式成立。

独立推导的参考解析，不是学生作答记录。

对所有实数 a，方程在 (0,1) 内至少有一个实根。

1. 令左端为 f(x)。f(0)=5a²+4>0，而 f(1)=−a²−2a−2=−(a+1)²−1<0。
2. 多项式函数连续，所以在 (0,1) 内至少有一个零点。此方法不要求二次项系数非零；a=0 时方程退化为 −6x+4=0，根为 2/3，同样符合结论。

独立推导的参考解析，不是学生作答记录。

在 (0,1) 内至少有一个根。

1. 因为是二次方程，a≠0。由已知得 b=−2a/3−2c。令 f(x)=ax²+bx+c，则 f(1/2)=−a/12，f(0)+f(1)=a/3。
2. 若 a>0，f(1/2)<0，而两个端点函数值至少有一个为正；若 a<0，f(1/2)>0，而至少一个端点函数值为负。
3. 因此在 (0,1/2) 或 (1/2,1) 内出现连续函数的异号端值，至少存在一个根，必在 (0,1) 内。

独立推导的参考解析，不是学生作答记录。

存在 x₀∈(0,1) 使 ax₀²+bx₀+c=0。

1. m>0 保证三个分母均非零。设 t=(m+1)/(m+2)，则 0<t<1，由条件 b=−(m+1)[a/(m+2)+c/m]。
2. 令 f(x)=ax²+bx+c，代入得到 f(t)=−c/[m(m+2)]。若 c≠0，则 f(0)f(t)=−c²/[m(m+2)]<0，连续性保证在 (0,t) 内有根。
3. 若 c=0 且 a>0，则 f(x)=ax[x−(m+1)/(m+2)]，t 就是所需根。若 a=c=0，条件给出 b=0，原式恒为零，可取 x₀=1/2。

独立推导的参考解析，不是学生作答记录。

至少有一根在(0,1)。

1. 由条件b=−3a/4−3c/2。令f(x)=ax²+bx+c，则f(0)=c，f(3/4)=−c/8。
2. c≠0时两值异号，连续性保证(0,3/4)内有根。
3. c=0时f(x)=ax(x−3/4)；a≠0可取x₀=3/4，a=0则b=0、原式恒为零，可取x₀=1/2。

独立推导的参考解析，不是学生作答记录。

（1）−1/3<x<1/2；（2）x≠1/2；（3）x≤−3或x≥5；（4）x<1−√2或x>1+√2。

1. （1）化为(3x+1)(2x−1)<0，取两根之间。
2. （2）(2x−1)²>0，排除使平方为0的点。
3. （3）乘正数3得(x−5)(x+3)≥0，取两侧并含根。
4. （4）乘−1后反向得(x−1)²>2。

独立推导的参考解析，不是学生作答记录。

−1/7<x<1

1. 分母=(x−1/2)²+3/4>0，故仅需(7x+1)(x−1)<0。

独立推导的参考解析，不是学生作答记录。

x<−8或x>8

1. 设u=|x|≥0，得到(u−8)(u+3)>0，结合u≥0得u>8。

独立推导的参考解析，不是学生作答记录。

a=−4，b=−9。

1. 两边界为零点，设a(x+2)(x+1/4)，常数a/2=−2得a=−4，展开得b=−9；开口向下符合根间取正。

独立推导的参考解析，不是学生作答记录。

f(5)<f(−1)<f(2)

1. 根为−2、4，a<0，对称轴为1。三点距轴分别为2、1、4；开口向下时离轴越远值越小。

独立推导的参考解析，不是学生作答记录。

a<0：x<1/a或x>1；0<a<1：1<x<1/a；a=1：无解；a>1：1/a<x<1。若允许退化a=0，则x>1。

1. 因式分解为(ax−1)(x−1)<0。a≠0时根为1/a与1，分别比较a符号以及两根顺序。a=1时为平方<0，无解。

独立推导的参考解析，不是学生作答记录。

a≤−144，b≤−24，c≥24，且b=a/6、c=−a/6。

1. 设f(x)=a(x+1/2)(x−1/3)，a<0，因此b=a/6、c=−a/6。
2. 轴为−1/12，最大值−25a/144。与y=25相交等价于−25a/144≥25，得a≤−144。三系数不能独立选择，还需保持给定比例。

独立推导的参考解析，不是学生作答记录。

−1/α<x<−1/β。

1. 原式=a(x−α)(x−β)，a<0且0<α<β。新式=a(αx+1)(βx+1)，开口系数c=aαβ<0。
2. 新根为−1/α、−1/β，顺序为−1/α<−1/β，因此取根间。

独立推导的参考解析，不是学生作答记录。

1/3。

1. 平移坐标把抛物线化为y=−3x²。设B=(−u,−3u²)、C=(u,−3u²)，u>0；A=(v,−3v²)。
2. A在以BC为直径的圆上，且不同于B、C，所以|v|<u。设d=u²−v²>0。由AB⊥AC，向量点积为(v²−u²)+9(u²−v²)²=0，即d(9d−1)=0。
3. 于是d=1/9。A到水平直线BC的距离为3d=1/3。平移不改变距离。

独立推导的参考解析，不是学生作答记录。

恒过定点(−1/2,0)；顶点轨迹为Y=−(X+1/2)²。

1. 重写y=(x+1/2)²+a(x+1/2)，在x=−1/2时y=0，与a无关。
2. 顶点横坐标X=−(a+1)/2，纵坐标Y=−a²/4。消去a=−2X−1，得到Y=−(X+1/2)²。
3. a遍历所有实数时X也遍历所有实数，故轨迹为整条所给抛物线。

独立推导的参考解析，不是学生作答记录。

−1≤f(3)≤20。

1. 令 u=f(1)、v=f(2)，则 a=(v−u)/3，f(3)=(8v−5u)/3。
2. 分别在 u∈[−4,−1]、v∈[−1,5] 上取端点：最小值 (−8+5)/3=−1，最大值 (40+20)/3=20。任意一组 u、v 都能唯一确定 a、b，所以边界能取到且中间值也能取到。

独立推导的参考解析，不是学生作答记录。

−1≤a−2b≤5。

1. 由韦达定理，a−2b=x₁+x₂−2x₁x₂。这是分别关于每个变量的一次式，矩形区域上的最大最小值在顶点取得。
2. 四顶点 (−1,1)、(−1,2)、(1,1)、(1,2) 对应 2、5、0、−1。故范围为 [−1,5]，所有值由连续性取得。

独立推导的参考解析，不是学生作答记录。

最大值为 17，f(x)=8x²−8x+1 可取到。

1. 设 u=f(0)、v=f(1/2)、w=f(1)，三者绝对值均不超过1。解得 c=u，a=2u−4v+2w，b=−3u+4v−w。
2. 由三角不等式得 |a|≤8、|b|≤8、|c|≤1，所以总和≤17。
3. 取 f(x)=8(x−1/2)²−1，在 [0,1] 上的值域为 [−1,1]，系数绝对值和为17，证实上界可达。

独立推导的参考解析，不是学生作答记录。

(p,q)=(−6,7)。

1. 记f=x²+px+q，则f(1)+f(5)−2f(3)=8。各项有界给左侧≤2+2+4=8，所以必须f(1)=f(5)=2、f(3)=−2。
2. 由两端相等得p=−6，再得q=7。验证f(x)=(x−3)²−2在[1,5]值域[−2,2]。

独立推导的参考解析，不是学生作答记录。

最大值为 17，f(x)=8x²−8x+1 可取到。

1. 设 u=f(0)、v=f(1/2)、w=f(1)，三者绝对值均不超过1。解得 c=u，a=2u−4v+2w，b=−3u+4v−w。
2. 由三角不等式得 |a|≤8、|b|≤8、|c|≤1，所以总和≤17。
3. 取 f(x)=8(x−1/2)²−1，在 [0,1] 上的值域为 [−1,1]，系数绝对值和为17，证实上界可达。

独立推导的参考解析，不是学生作答记录。

（1）|g(x)|≤2；（2）f(x)=2x²−1。

1. （1）a+b=f(1)−f(0)，a−b=f(−1)−f(0)，故 |a+b|≤2、|a−b|≤2。由 |a|+|b|=max{|a+b|,|a−b|}，得到 |ax+b|≤|a|+|b|≤2。
2. （2）a>0 时 g 最大值在 x=1，故 a+b=2。等式 f(1)−f(0)=2 强迫 f(1)=1、f(0)=c=−1。
3. 因为 f(x)≥−1 且 x=0 为区间内点，必须 b=0：否则取足够小且与 b 反号的 x，就有 ax²+bx<0。于是 a=2。检验 2x²−1 在 [−1,1] 的值域确为 [−1,1]。

独立推导的参考解析，不是学生作答记录。

2

1. 设 EA=x。
2. 由 △EAF ∽ △JDF，JD/EA=JF/EF=4，得 JD=4x。
3. 由 △EBG ∽ △JDG，EB/JD=EG/JG=2/3，得 EB=8x/3。
4. 由 △EAH ∽ △JCH，JC/EA=JH/EH=2/3，得 JC=2x/3。
5. 故 AB=EB−EA=5x/3，DC=JD−JC=10x/3，DC/AB=2。

独立推导的参考解析，不是学生作答记录。

39/5

1. 令 t=AE/AB=DF/DC。
2. 两梯形周长相等，消去共同边EF，得 3+6t+4t=9+6(1−t)+4(1−t)，故20t=16，t=4/5。
3. 平行截线长度随分点比例变化，EF=AD+t(BC−AD)=3+(4/5)×6=39/5。

独立推导的参考解析，不是学生作答记录。

2

1. 设 EA=x。
2. 由 △EAF ∽ △JDF，JD/EA=JF/EF=4，得 JD=4x。
3. 由 △EBG ∽ △JDG，EB/JD=EG/JG=2/3，得 EB=8x/3。
4. 由 △EAH ∽ △JCH，JC/EA=JH/EH=2/3，得 JC=2x/3。
5. 故 AB=EB−EA=5x/3，DC=JD−JC=10x/3，DC/AB=2。

独立推导的参考解析，不是学生作答记录。

39/5

1. 令 t=AE/AB=DF/DC。
2. 两梯形周长相等，消去共同边EF，得 3+6t+4t=9+6(1−t)+4(1−t)，故20t=16，t=4/5。
3. 平行截线长度随分点比例变化，EF=AD+t(BC−AD)=3+(4/5)×6=39/5。

独立推导的参考解析，不是学生作答记录。

（1）EF ∥ CD；（2）ab/(a+2b)

1. 由于AM ∥ CD，△AME ∽ △CDE，ME/ED=AM/CD=a/(2b)。
2. 同理由BM ∥ CD，△BMF ∽ △DCF，MF/FC=a/(2b)。
3. 所以 ME/MD=MF/MC=a/(a+2b)。
4. 在△MDC中，比例线段定理的逆定理给出EF ∥ DC；再由相似得EF/DC=ME/MD，故EF=ab/(a+2b)。

独立推导的参考解析，不是学生作答记录。

1/AB+1/CD=2/MN

1. 设AB=a，CD=b。
2. △AOB ∽ △COD，故AO/OC=BO/OD=a/b，从而AO/AC=BO/BD=a/(a+b)。
3. 在△ADC中，MO ∥ DC，得MO=ab/(a+b)；在△BDC中，ON ∥ DC，得ON=ab/(a+b)。
4. 因此MN=2ab/(a+b)，于是2/MN=(a+b)/(ab)=1/AB+1/CD。

独立推导的参考解析，不是学生作答记录。

2

1. 设 EA=x。
2. 由 △EAF ∽ △JDF，JD/EA=JF/EF=4，得 JD=4x。
3. 由 △EBG ∽ △JDG，EB/JD=EG/JG=2/3，得 EB=8x/3。
4. 由 △EAH ∽ △JCH，JC/EA=JH/EH=2/3，得 JC=2x/3。
5. 故 AB=EB−EA=5x/3，DC=JD−JC=10x/3，DC/AB=2。

独立推导的参考解析，不是学生作答记录。

2

1. 记 △ABC 面积为 S。
2. 由平行线相似与对应高之比，DE/BC=1−S(PBC)/S；FG/CA=1−S(PCA)/S；KH/AB=1−S(PAB)/S。
3. P在内部，三个小三角形面积之和为S，因此所求和为3−1=2。

独立推导的参考解析，不是学生作答记录。

12/13

1. 连接PA、PB、PC，设总面积为S。
2. 由同高三角形与平行线比例，PD/BC=S(PAB)/S，PE/CA=S(PBC)/S，PF/AB=S(PCA)/S。
3. 三小三角形面积之和为S，故 l/2+l/3+l/4=1，解得l=12/13。

独立推导的参考解析，不是学生作答记录。

PQ ∥ AB

1. 令 t=BM/BA。
2. 由MK ∥ AC，BP/BL=BM/BA=t，BK/BC=t。
3. 由ML ∥ BC，ML/BC=AM/AB=1−t；在△ABK中，MQ/BK=AM/AB=1−t，所以 MQ/ML=t。
4. 于是 LP/LB=1−t=LQ/LM。
5. 在△LBM中，由三角形比例线段定理的逆定理，PQ ∥ BM，即PQ ∥ AB。

独立推导的参考解析，不是学生作答记录。

1:2

1. 过D作DX ∥ AB交CE于X。
2. 在△CBE中，CX/CE=CD/CB=1/3，DX/BE=1/3。
3. 因BE=3AE，所以DX=AE。
4. 由△FAE ∽ △FDX得FE=FX。
5. 又CE=CX+XF+FE，且CX=CE/3，故FE=CE/3，FC=2CE/3，因此EF:FC=1:2。

独立推导的参考解析，不是学生作答记录。

1/4

1. 延长FE与CB的延长线交于M。
2. 由AF ∥ MB、AE=EB，△AEF ∽ △BEM，得MB=AF。
3. 又AF=AD/3，MC=MB+BC=AD/3+AD=4AD/3。
4. 由△AGF ∽ △CGM，AG/GC=AF/MC=1/4。

独立推导的参考解析，不是学生作答记录。

5:3:2

1. 过A作AG ∥ BC，与BD的延长线交于G。
2. 因AD=DC，△ADG ∽ △CDB，得AG=BC、DG=DB，故BG=2BD。
3. △BEM ∽ △GAM，BM/MG=BE/AG=1/3，所以BM=BG/4=BD/2。
4. △BFN ∽ △GAN，BN/NG=BF/AG=2/3，所以BN=2BG/5=4BD/5。
5. 于是MN=3BD/10、ND=BD/5，所求比为5:3:2。

独立推导的参考解析，不是学生作答记录。

1/AD=1/AB+1/AC

1. 过C作CE ∥ AD，交BA的延长线于E。
2. 因∠BAD=∠DAC=60°，△ACE为等边三角形，所以AE=CE=AC。
3. 由△BAD ∽ △BEC，AD/CE=AB/BE=AB/(AB+AC)，故AD=AB·AC/(AB+AC)。
4. 两边取倒数得1/AD=1/AB+1/AC。

独立推导的参考解析，不是学生作答记录。

(√5−1)/2

1. 设 x=PF/PE>0。
2. 由D、E、F为中点，得FD ∥ AC、DE ∥ AB、FE ∥ BC，且FD=AE、DE=BF、FE=CD。
3. 由△APE ∽ △QPF，FQ/AE=PF/PE=x，故FQ/FD=x，QD/FD=1−x。
4. 由△BFQ ∽ △RDQ，RD/BF=QD/FQ=(1−x)/x，因BF=DE，故RD/DE=(1−x)/x。
5. 再由△CDR ∽ △PER，RD/RE=CD/PE=FE/PE=x+1，因此RD/DE=RD/(RD+RE)=(x+1)/(x+2)。
6. 联立得(1−x)/x=(x+1)/(x+2)，化简为x²+x−1=0。
7. 因x>0，取正根x=(√5−1)/2，即PF/PE=(√5−1)/2。

独立推导的参考解析，不是学生作答记录。

AF=AG=CF+BG

1. 按题图，F在AC上、G在AB上。
2. 记AB=c，AC=b。
3. 把B、C在AC方向的投影分别记为c/2、b（60°角的投影系数为1/2）；D=(2B+C)/3，故AF=(c+b)/3。
4. 同理E=(B+2C)/3，在AB方向投影得AG=(c+b)/3。
5. 于是CF+BG=(b−AF)+(c−AG)=(b+c)/3=AF=AG。
6. 这里的加权投影也可由过B、E作垂线，利用平行线分线段成比例推出。

独立推导的参考解析，不是学生作答记录。

BD=CD。

1. △EBC与△FBC同底BC，且顶点E、F在平行于BC的同一直线上，故面积相等。去掉共同的△OBC，得S△EOB=S△FOC。
2. 由EF∥BC，AE/EB=AF/FC，故AB/EB=AC/FC。以AB、AC上的相应线段为底比较面积，S△AOB=(AB/EB)S△EOB，S△AOC=(AC/FC)S△FOC，所以S△AOB=S△AOC。
3. O在AD上，两边三角形沿同一高线AD缩放，得S△ABD=S△ACD。它们以BD、CD为底的高相同，故BD=CD。

独立推导的参考解析，不是学生作答记录。

GH=NH。

1. 给出只使用共线与平行比的仿射坐标证明。取B=(0,0)、C=(1,0)、A=(0,1)作为斜坐标基准；令D=(d,0)、E=(0,e)，其中0<d,e<1。
2. 由AD与CE的方程x/d+y=1、ex+y=e，得F=(d(1−e)/(1−de), e(1−d)/(1−de))。直线BF与DE相交，DE方程ex+dy=de，代入BF上的比例得G=(d(1−e)/(2−d−e), e(1−d)/(2−d−e))。
3. 令G的纵坐标为g，则N=(1−g,g)，H=(1−g/e,g)。因此HN=g(1/e−1)。由G的坐标计算HG=1−g/e−d(1−e)/(2−d−e)= (1−d)(1−e)/(2−d−e)，而HN同样等于该式。
4. 斜坐标中同一条平行于BC的直线上，横坐标差代表相同基准下的线段比，故GH=HN。

独立推导的参考解析，不是学生作答记录。

∠ACP+∠BCN=180°。

1. 因为AC=BC且M为AB中点，所以CM⊥AB。缩放后取A=(−1,0)、B=(1,0)、C=(0,h)、M=(0,0)。由CD∥AB，D的纵坐标是h。
2. 设P=(p,q)，按图P在AD越过D的延长线上，故q>h。由A、D、P共线可得D=(h(p+1)/q−1,h)。联立PM与BD，得N=(hp/(2q−h),hq/(2q−h))。
3. 因此向量CN=h/(2q−h)·(p,h−q)，而CP=(p,q−h)，正比例系数说明CN的方向正是CP关于过C且平行AB的直线的反射方向。
4. 同一反射将CA的方向变为CB的反方向。因此∠ACP等于CB反向射线与CN所成的角，与∠BCN互补。

独立推导的参考解析，不是学生作答记录。

AF∥CE；在题图的非退化内部位置下，三直线共点的充要条件为EF∥AD，或AE/EB=√(AD/BC)。共点时还可推出EF²=AD·BC。

1. 设两腰所在直线相交于T。选T为原点，以两腰方向为两个斜坐标轴，并统一刻度，使A=(a,0)、B=(b,0)、D=(0,a)、C=(0,b)，其中0<a<b。设E=(e,0)、F=(0,f)，a<e,f<b。
2. ED∥BF给出(a/ e)=(f/b)，即ef=ab。AF的方向为(−a,f)，CE的方向为(e,−b)；因ef=ab，两向量成比例，所以AF∥CE。
3. 联立直线方程，得到M=(a(b−e)/(b−a), ab(e−a)/(e(b−a)))，N=(b(e−a)/(b−a), ab(b−e)/(e(b−a)))。
4. AB与CD已交于T，因此所问等价于T、M、N共线。两坐标行列式为零等价于a(b−e)²=b(e−a)²；由于e在(a,b)内，化为e=√(ab)，再由ef=ab得f=e。
5. e=f正是EF∥AD。此时平行截线长度按径向比例变化，EF/AD=e/a，BC/AD=b/a，故EF²=AD·BC。同时AE/EB=(e−a)/(b−e)=√(a/b)=√(AD/BC)。

独立推导的参考解析，不是学生作答记录。

QN=PM。

1. 记∠ACB=C。由AD⊥BC、DN⊥AC，得到AD=AC·sinC、AN=AD·sinC，所以AN/AC=sin²C。同理由BE⊥AC、EP⊥BC，得BP/BC=sin²C。因此AN/AC=BP/BC，NP∥AB。
2. A、M、D、N共圆，所在圆以AD为直径，故∠AMN=∠ADN=C。B、Q、E、P共圆，所在圆以BE为直径，故∠BQP=∠BEP=C。
3. 按锐角三角形的垂足位置，Q、M依次位于AB上；设T=MN∩PQ。由上一步，△TMQ的两个底角都为C，故TM=TQ。又NP∥MQ，△TNP与△TMQ相似，所以TN=TP。
4. △TQN和△TMP有TQ=TM、TN=TP，且∠QTN=∠MTP为对顶角，故由SAS全等，得到QN=PM。

独立推导的参考解析，不是学生作答记录。

PQ ∥ AB

1. 令 t=BM/BA。
2. 由MK ∥ AC，BP/BL=BM/BA=t，BK/BC=t。
3. 由ML ∥ BC，ML/BC=AM/AB=1−t；在△ABK中，MQ/BK=AM/AB=1−t，所以 MQ/ML=t。
4. 于是 LP/LB=1−t=LQ/LM。
5. 在△LBM中，由三角形比例线段定理的逆定理，PQ ∥ BM，即PQ ∥ AB。

独立推导的参考解析，不是学生作答记录。

（1）EF ∥ CD；（2）ab/(a+2b)

1. 由于AM ∥ CD，△AME ∽ △CDE，ME/ED=AM/CD=a/(2b)。
2. 同理由BM ∥ CD，△BMF ∽ △DCF，MF/FC=a/(2b)。
3. 所以 ME/MD=MF/MC=a/(a+2b)。
4. 在△MDC中，比例线段定理的逆定理给出EF ∥ DC；再由相似得EF/DC=ME/MD，故EF=ab/(a+2b)。

独立推导的参考解析，不是学生作答记录。

1/EF+1/DC=2/MN。

1. 令AD=BD=u，DC=v。中位线定理给出EF=u，AB=2u。
2. 在△BDC中，BM/MC=u/v；在△ADC中，AN/NC=u/v。因此CM/CB=CN/CA=v/(u+v)。
3. 由比例定理逆定理，MN∥AB，且MN/AB=v/(u+v)，故MN=2uv/(u+v)。整理得2/MN=(u+v)/(uv)=1/EF+1/DC。

独立推导的参考解析，不是学生作答记录。

BD=CD。

1. △EBC与△FBC同底BC，且顶点E、F在平行于BC的同一直线上，故面积相等。去掉共同的△OBC，得S△EOB=S△FOC。
2. 由EF∥BC，AE/EB=AF/FC，故AB/EB=AC/FC。以AB、AC上的相应线段为底比较面积，S△AOB=(AB/EB)S△EOB，S△AOC=(AC/FC)S△FOC，所以S△AOB=S△AOC。
3. O在AD上，两边三角形沿同一高线AD缩放，得S△ABD=S△ACD。它们以BD、CD为底的高相同，故BD=CD。

独立推导的参考解析，不是学生作答记录。

GH=NH。

1. 给出只使用共线与平行比的仿射坐标证明。取B=(0,0)、C=(1,0)、A=(0,1)作为斜坐标基准；令D=(d,0)、E=(0,e)，其中0<d,e<1。
2. 由AD与CE的方程x/d+y=1、ex+y=e，得F=(d(1−e)/(1−de), e(1−d)/(1−de))。直线BF与DE相交，DE方程ex+dy=de，代入BF上的比例得G=(d(1−e)/(2−d−e), e(1−d)/(2−d−e))。
3. 令G的纵坐标为g，则N=(1−g,g)，H=(1−g/e,g)。因此HN=g(1/e−1)。由G的坐标计算HG=1−g/e−d(1−e)/(2−d−e)= (1−d)(1−e)/(2−d−e)，而HN同样等于该式。
4. 斜坐标中同一条平行于BC的直线上，横坐标差代表相同基准下的线段比，故GH=HN。

独立推导的参考解析，不是学生作答记录。

RS=(1/3)PQ，且PR=RS=SQ。

1. 按图P在AB、Q在AC。取B=0，A=a，C=c为向量表示，令D=tc，0<t<1。E=(a+c)/2，F=a/2。
2. 由DP∥CF且P在AB，可得P=ta/2；由DQ∥BE且Q在AC，可得Q=((1−t)a+(1+t)c)/2。
3. 计算P+(Q−P)/3=(1+t)(a+c)/6，该点在BE上，故为R。计算P+2(Q−P)/3=((2−t)a+2(1+t)c)/6，其a系数是(1−c系数)/2，故该点在CF上，为S。
4. 因此R、S在PQ上分别位于1/3和2/3处，RS=PQ/3。

独立推导的参考解析，不是学生作答记录。

命题成立，证明如下。

1. 记AB=c，AC=b，BD=m，CD=n，AD=d。角平分线定理给m/n=c/b，即bm=cn。
2. 由斯图尔特定理b²m+c²n=(m+n)(d²+mn)，代入m/n=c/b得d²=bc−mn。
3. (c+m)(b−n)=bc−mn+bm−cn=bc−mn=d²。

独立推导的参考解析，不是学生作答记录。

∠A=80°。

1. 记a=BC、b=CA、c=AB，原条件为a²=c(b+c)。作A的内角平分线AD，D在BC上。由角平分线定理，BD=ac/(b+c)、CD=ab/(b+c)。
2. 由紧前例1的角平分线长度公式，AD²=bc−BD·CD=bc−a²bc/(b+c)²=b²c/(b+c)=CD²。故AD=CD，∠CAD=∠ACD=C，得到A=2C。
3. 另A+C=2B与内角和给B=60°，所以A+C=120°、A=2C，解得A=80°。

独立推导的参考解析，不是学生作答记录。

命题成立，证明如下。

1. 记∠A=θ、∠B=2θ、∠C=4θ，a=BC、b=CA、c=AB。作B角平分线交AC于D，则△ABD等腰，AD=BD；△BCD∽△ABC，得BD=a²/b、CD=ac/b，因此b²=a(a+c)。
2. 作C角平分线交AB于E，则△BCE等腰，BE=CE；△ACE∽△ABC，得AE=ab/c、CE=b²/c，因此c²=b(a+b)。
3. 计算(a+b)[bc−a(b+c)]=c(b²−a²)−ab(a+b)=a[c²−b²−ab]=0。
4. 因a+b>0，得bc=a(b+c)，除以abc即1/c+1/b=1/a。

独立推导的参考解析，不是学生作答记录。

命题成立，证明如下。

1. 作△ABX∽△ACD，使∠BAX=∠CAD、AX/AD=AB/AC，取旋转方向使∠XAD=∠BAC。
2. 于是BX=AB·CD/AC，且△AXD∽△ABC，故XD=AD·BC/AC。由BD≤BX+XD，乘AC即得所证。

独立推导的参考解析，不是学生作答记录。

命题成立，证明如下。

1. 按原图，R为过P作BC垂线与线段AB的交点。以A为圆心、CQ为半径作圆，与射线HN相交于G。下面证明交点存在且满足要求。
2. 由Rt△BPR∽Rt△BAC，BR·BA=BP·BC。记BA=c、BC=a、BP=p，则AR=c−ap/c，而2CQ=a−p。因a≥c，a−p−AR=(a−c)(1+p/c)≥0，故AH=AR/2≤CQ；射线HN垂直AB且从圆内或圆上出发，必与圆相交。
3. H为AR中点，HG⊥AR，故GA=GR=CQ。由G在AR的垂直平分线上，沿AB作投影可得BG²−AG²=BA·BR=ap。
4. 所以BG²=ap+(a−p)²/4=(a+p)²/4=BQ²，故BG=BQ。

独立推导的参考解析，不是学生作答记录。

命题成立，证明如下。

1. 为给出可逐步核验的证明，取A=(0,0)、B=(2,0)、C=(0,c)，c>0，M=(1,0)。因MQ⊥BC，可写Q=(1+ct,2t)。又B、Q、P共线，写P=(2+s(ct−1),2st)。
2. 记P=(x,y)。按原图的角度方向，tan∠PAC=x/y，tan∠PBC=[c−t(c²+4)]/2。由两角相等，代入x、y得2=s[1−t²(c²+4)]。
3. 向量AQ=(1+ct,2t)，CP=(x,y−c)。点积AQ·CP=2+s[t²(c²+4)−1]=0，因此AQ⊥CP。

独立推导的参考解析，不是学生作答记录。

命题成立，证明如下。

1. 取A=(0,0)、B=(b,0)、C=(0,c)，记h=√(b²+c²)、K=b+c+h。垂足D=(bc²/h²,b²c/h²)。
2. 由内心坐标公式（按对边长加权），S=(bc(h+c)/(hK),b²c/(hK))，T=(bc²/(hK),bc(h+b)/(hK))。
3. 两点坐标之和都为bc/h，因此ST的方程是x+y=bc/h，M=(bc/h,0)、N=(0,bc/h)。
4. 所以[AMN]/[ABC]=(bc/h)²/(bc)=bc/(b²+c²)≤1/2，最后一步来自(b−c)²≥0。等号当且仅当AB=AC。

独立推导的参考解析，不是学生作答记录。

命题成立，证明如下。

1. 设AB=m、CD=n，取A=(0,h)、B=(m,h)、D=(d,0)、C=(d+n,0)。由对角线分比，O=(m(d+n)/(m+n),hn/(m+n))。
2. 在△APB与△DPC中用正弦定理，因∠APB=∠CPD且A、D处角的正弦相等，得到PB/PC=m/n。令P=A+t(D−A)，代入距离比可因式分解为[(m−n)t−m]·[(m+n)(d²+h²)t−m(d²+2dn+h²)]=0。
3. P在边AD内，所以t=m/(m−n)这一分支不可能；代入另一分支t=m(d²+2dn+h²)/[(m+n)(d²+h²)]，得OP²=m²n²/(m+n)²。
4. 同理由∠AQB=∠CQD可得QA/QD=m/n，交换左右两腰重复同一计算，得到OQ²=m²n²/(m+n)²。故OP=OQ=mn/(m+n)。当m=n时第一因子为非零常数，计算仍有效。

独立推导的参考解析，不是学生作答记录。

命题成立，证明如下。

1. 取B=(0,0)、C=(3,0)，则A=(3/2,3√3/2)、D=(1,0)。将C正交投影到AD，得到H=(15/14,3√3/14)。
2. 于是HB²=9/7、HD²=1/7，向量HB·HD=3/14。故cos∠BHD=(3/14)/[(3/√7)(1/√7)]=1/2，即∠BHD=60°。

独立推导的参考解析，不是学生作答记录。

x=y=z=2+√5。

1. 由等腰三角形底角为36°，m/n=2cos36°=φ=(1+√5)/2，满足φ²=φ+1。
2. x=(φ+1)/(φ−1)=φ³；y=(φ+1)²/φ=φ³；z=φ³，故x=y=z。

独立推导的参考解析，不是学生作答记录。

AB=42√110。

1. 设两直角边为u、v，斜边c，p=u+v、q=uv。第一种正方形边长s由相似得s=q/p=21，故q=21p。
2. 斜边上的高为q/c。第二种正方形边长t由相似得t=c(q/c)/(c+q/c)=cq/(c²+q)=√440。用c²=p²−2q，化为t=21c/(p−21)。
3. 令w=p−21，则c²=w²−441，而t²=440给440w²/441=w²−441。因此w²=441²，w>0得w=441。
4. 故c=21√440=42√110。

独立推导的参考解析，不是学生作答记录。

（1）2√2:2√3:(√6+√2)；（2）∠APB=120°、∠BPC=90°、∠CPA=150°。

1. （1）∠B=75°，正弦定理给AB:BC:CA=sin45°:sin60°:sin75°=2√2:2√3:(√6+√2)。
2. （2）记AB=√2t、BC=√3t、CA=(√6+√2)t/2，z=t²。取A=(0,0)、B=(AB,0)、C=(CA/2,√3CA/2)，P=(x,y)。由两两距离平方相减，x=[AB²+PA²−PB²]/(2AB)，y={ [CA²+PA²−PC²]/CA−x }/√3。
3. 将给定PA、PB、PC代入x²+y²=PA²，整理为[z−(22+12√3)][z−(4+2√3)]=0。后一根给x<0、y<0，不符合P在△ABC内部；所以z=22+12√3。
4. 分别在△APB、△BPC、△CPA用余弦定理，得到cos∠APB=−1/2、cos∠BPC=0、cos∠CPA=−√3/2。故三个角依次为120°、90°、150°，且和为360°。

独立推导的参考解析，不是学生作答记录。

命题成立，证明如下。

1. 记BC=a、AB=c、AC=b、BP=x，按原图0<x<a。由余弦定理或坐标展开，AP²=c²+x(b²−c²−a²)/a+x²。
2. 题设AP²=b²x/a，代入整理为(a−x)(c²/a−x)=0。因x<a，得到x=c²/a。
3. 所以BA/BC=BP/BA=c/a，且∠ABP=∠CBA。由SAS，△BAP∽△BCA，因此∠BAP=∠BCA。

独立推导的参考解析，不是学生作答记录。

QN=PM。

1. 记∠ACB=C。由AD⊥BC、DN⊥AC，得到AD=AC·sinC、AN=AD·sinC，所以AN/AC=sin²C。同理由BE⊥AC、EP⊥BC，得BP/BC=sin²C。因此AN/AC=BP/BC，NP∥AB。
2. A、M、D、N共圆，所在圆以AD为直径，故∠AMN=∠ADN=C。B、Q、E、P共圆，所在圆以BE为直径，故∠BQP=∠BEP=C。
3. 按锐角三角形的垂足位置，Q、M依次位于AB上；设T=MN∩PQ。由上一步，△TMQ的两个底角都为C，故TM=TQ。又NP∥MQ，△TNP与△TMQ相似，所以TN=TP。
4. △TQN和△TMP有TQ=TM、TN=TP，且∠QTN=∠MTP为对顶角，故由SAS全等，得到QN=PM。

独立推导的参考解析，不是学生作答记录。

命题成立，证明如下。

1. 由∠DAC=∠B且C角公共，△ADC∽△BAC。设y=AC/BC，则ADC与ABC周长比为y，且DC/BC=y²。
2. 图中∠BDE=∠BDA−∠EDA=(180°−∠A)−∠B=∠C，所以△EBD∽△ABC，其周长比为BD/BC=1−y²。
3. 因此(m₁+m₂)/m=1−y²+y=5/4−(y−1/2)²≤5/4。

独立推导的参考解析，不是学生作答记录。

命题成立，证明如下。

1. 按编辑解释，以O表示AD与EC的交点，S₁=[AOC]、S₂=[EOD]、S₃=[BED]，b=AC、c=AB。因DE∥AC，△AOC∽△DOE，故AO/OD=AC/DE=√(S₁/S₂)。
2. 梯形ACDE中，[AOE]=[COD]=√(S₁S₂)，所以[ACDE]=(√S₁+√S₂)²。原式左边=[ABC]/[BED]。
3. △BDE∽△BCA，故此比=(BC/BD)²。角平分线定理CD/BD=AC/AB，因此BC/BD=1+AC/AB。

独立推导的参考解析，不是学生作答记录。

（1）CO/OF=φ=(1+√5)/2；（2）S△AEF/S△EOF=2+√5。

1. 记φ=(1+√5)/2，则AF/FD=φ。由[COE]=[DOF]，两边加[EOF]得[CEF]=[DEF]；共底EF，两顶点C、D在EF同侧且等高，故CD∥EF。
2. △AFE∽△ADC，AD/AF=1+FD/AF=1+1/φ=φ。又△CO D∽△FO E，CO/OF=CD/EF=AD/AF=φ，证明第（1）问。
3. 取AF为1，则AD=φ；由相似AE/AC=1/φ，且FO/FC=1/(φ+1)=1/φ²。比较共底EF的△AEF、△EOF，高之比等于A、O到直线EF的距离之比。O在FC上，F在EF上，故O的高=(FO/FC)×C到EF的高。
4. A、C到EF的高之比=AE/EC=(1/φ)/(1−1/φ)=φ。因此[AEF]/[EOF]=φ×φ²=φ³=2+√5。

独立推导的参考解析，不是学生作答记录。

最大值为1/18；当AE/AB=AD/AC=1/3时取得。

1. 按图E在AB上、D在AC上，BD与CE交于O。令x=AE/AB、y=AD/AC，0<x,y<1。以A为原点、AB和AC为基向量，用仿射坐标表示B=(1,0)、C=(0,1)、E=(x,0)、D=(0,y)。仿射坐标可用于计算面积比。
2. 解BD与CE的交点，得O=(x(1−y)/(1−xy), y(1−x)/(1−xy))。用行列式求面积比，得到S△OBC/S△ABC=(1−x)(1−y)/(1−xy)，S△ODE/S△ABC=xy(1−x)(1−y)/(1−xy)。四边形BCDE的面积比为1−xy。
3. 设p=xy。由已知面积关系，(1−x)(1−y)=9(1−p)²/16。又x+y≥2√p，故(1−x)(1−y)≤(1−√p)²。两边开平方并约去正数1−√p，得到3(1+√p)/4≤1，即p≤1/9。
4. 所求面积比为9p(1−p)/16，在0<p≤1/9内随p增大而增大，因此最大为(9/16)·(1/9)·(8/9)=1/18。取x=y=1/3时满足原条件，故最大值可以取得。

独立推导的参考解析，不是学生作答记录。

命题成立，证明如下。

1. 两等边三角形除去共同六边形后，各剩三个角部三角形。这六个小三角形的顶角均为60°，另两角分别由两组原边夹角确定，因此六个三角形相似。
2. 按原图，各小三角形在六边形边界上的底边依次为a₁、b₁、a₂、b₂、a₃、b₃。相似三角形面积与对应底边平方成比例，设共同系数为K>0。
3. 原两大三角形全等、面积相等，减去共同六边形后仍相等，所以K(a₁²+a₂²+a₃²)=K(b₁²+b₂²+b₃²)，约去K即得所证。

独立推导的参考解析，不是学生作答记录。

命题成立，证明如下。

1. 用复平面表示图形，令P=0，B=−b，C=c（b=BP>0，c=PC>0），A=a、Y=y。按图示相似对应，两组相似均为同向相似。
2. 由△AXB∽△CYP，(X−a)/(−b−a)=(y−c)/(−c)，故X=−b+(a+b)y/c。
3. 由△ACZ∽△BPY，(Z−a)/(c−a)=(y+b)/b，故Z=c+(c−a)y/b。
4. 所以Z−y=−(c/b)(X−y)，取模得YZ=(c/b)XY，即XY/YZ=b/c=BP/PC。

独立推导的参考解析，不是学生作答记录。

RP=RQ，∠PRQ=90°。

1. 可把两个外作三角形理解为固定角度的旋转与缩放。以下用复数写出旋转，逐项检验目标。相似变换归一化B=0、C=1、A=z（z在上半平面）。记k=(√3−1)/2、e=(2−√3)/2。
2. 根据底角45°、30°，外侧顶点P=k(1−i)；根据底角30°、45°，Q=1+(1−k−ik)(z−1)；根据两底角15°，R=(1/2+ie)z。
3. 代入k、e后直接整理得到Q−R=i(P−R)。乘i表示逆时针旋转90°且不改变长度，所以RQ=RP且RQ⊥RP。故△PQR是以R为直角顶点的等腰直角三角形。

独立推导的参考解析，不是学生作答记录。

∠EDO₁=∠FDO₂。

1. 用复数表示平面点，令C=0、A=a、B=b，取△ABC为逆时针方向，设w=(1+i√3)/2；乘w或其共轭分别表示逆时针或顺时针旋转60°。
2. 由外作正三角形条件，E=w̄a、F=wb；两正三角形的中心为O₁=(1+w̄)a/3、O₂=(1+w)b/3，AB中点D=(a+b)/2。
3. 代入w并整理，得到F−D=−i√3(O₁−D)，O₂−D=−i(E−D)/√3。
4. 这说明把射线DO₁、DE同时顺时针旋转90°，分别得到DF、DO₂的方向；正的伸缩不改变夹角。所以∠FDO₂等于DO₁与DE的夹角，也就是∠EDO₁。镜像放置同理。

独立推导的参考解析，不是学生作答记录。

∠P=30°，∠Q=60°，∠R=90°。

1. 用复数表示平面上的点，令B=0、C=4、A=z（A在实轴上方）。由于BR=3CR，R=3。令w=(1+i√3)/2，乘w表示逆时针旋转60°，乘其共轭表示顺时针旋转60°。
2. 由两正三角形位于△ABC外侧，D=z−w̄z，F=z+w(4−z)。由中点条件，P=(2−w̄)z/2，Q=((1−w)z+4+4w)/2。
3. 代入w并整理，得到Q−R=−i(P−R)/√3。因此RP⊥RQ，且RQ/RP=1/√3。P≠R：若P=3，则z=3−i√3，与A在实轴上方矛盾。
4. 所以△PQR为直角三角形，∠R=90°；tan∠P=RQ/RP=1/√3，故∠P=30°、∠Q=60°。镜像放置不改变三个角的大小。

独立推导的参考解析，不是学生作答记录。

∠DMB=60°。

1. 把菱形边长归一化为1，用复数取A=0、B=1、D=w=(1+i√3)/2、C=1+w。设E=tw，0<t<1。
2. 联立CE与实轴BA，得F=−t/(1−t)。从而向量FD=w+t/(1−t)，BE=tw−1。因w²=w−1，有(1−t)FD=−w·BE。
3. 因此从射线MB（与BE方向相反）旋转60°恰得射线MD的方向，故∠DMB=60°。

独立推导的参考解析，不是学生作答记录。

2

1. 记 △ABC 面积为 S。
2. 由平行线相似与对应高之比，DE/BC=1−S(PBC)/S；FG/CA=1−S(PCA)/S；KH/AB=1−S(PAB)/S。
3. P在内部，三个小三角形面积之和为S，因此所求和为3−1=2。

独立推导的参考解析，不是学生作答记录。

12/13

1. 连接PA、PB、PC，设总面积为S。
2. 由同高三角形与平行线比例，PD/BC=S(PAB)/S，PE/CA=S(PBC)/S，PF/AB=S(PCA)/S。
3. 三小三角形面积之和为S，故 l/2+l/3+l/4=1，解得l=12/13。

独立推导的参考解析，不是学生作答记录。

11

1. 在△ACE中对共线的B、F、D应用梅涅劳斯定理：AB/BE·EF/FC·CD/DA=1。
2. 代入AB/BE=2、CD/DA=3/2，得到EF/FC=1/3。于是S△BEF=(EF/EC)S△BEC=(1/4)(1/2)·40=5。
3. S△BCF=(FC/EC)S△BCE=15；又S△BCD=(CD/CA)S△BCA=24，所以S△DCF=24−15=9。
4. 四边形AEFD面积=40−5−15−9=11。

独立推导的参考解析，不是学生作答记录。

m/(mn+m+1)

1. 按图m,n>0。在△ACD中对共线的B、F、E应用梅涅劳斯定理：AE/EC·CB/BD·DF/FA=1，得AF/FD=(m+1)/(mn)。
2. 所以AF/AD=(m+1)/(mn+m+1)。同底BD或同高比较，S△ABF/S△ABC=(AF/AD)(BD/BC)。
3. 代入BD/BC=m/(m+1)，得到所求比值m/(mn+m+1)。

独立推导的参考解析，不是学生作答记录。

AM=MC，CN=ND。

1. 设t=AM/AC=CN/CD，0<t<1。由四边形按两条对角线分割，S△ADC=3+4−1=6。
2. S△BCN=t·S△BCD=4t；S△BCM=t·S△BCA=t；S△CMN=t·S△CMD=t(1−t)·S△CAD=6t(1−t)。
3. 按原图B-M-N共线，△BCN由△BCM和△CMN组成，所以4t=t+6t(1−t)。由t>0化简得t=1/2。

独立推导的参考解析，不是学生作答记录。

最大值为1/18；当AE/AB=AD/AC=1/3时取得。

1. 按图E在AB上、D在AC上，BD与CE交于O。令x=AE/AB、y=AD/AC，0<x,y<1。以A为原点、AB和AC为基向量，用仿射坐标表示B=(1,0)、C=(0,1)、E=(x,0)、D=(0,y)。仿射坐标可用于计算面积比。
2. 解BD与CE的交点，得O=(x(1−y)/(1−xy), y(1−x)/(1−xy))。用行列式求面积比，得到S△OBC/S△ABC=(1−x)(1−y)/(1−xy)，S△ODE/S△ABC=xy(1−x)(1−y)/(1−xy)。四边形BCDE的面积比为1−xy。
3. 设p=xy。由已知面积关系，(1−x)(1−y)=9(1−p)²/16。又x+y≥2√p，故(1−x)(1−y)≤(1−√p)²。两边开平方并约去正数1−√p，得到3(1+√p)/4≤1，即p≤1/9。
4. 所求面积比为9p(1−p)/16，在0<p≤1/9内随p增大而增大，因此最大为(9/16)·(1/9)·(8/9)=1/18。取x=y=1/3时满足原条件，故最大值可以取得。

独立推导的参考解析，不是学生作答记录。

1/10。

1. 由塞瓦定理，(BD/DC)·(CE/EA)·(AF/FB)=1。代入BD/DC=1/3、CE/EA=1，得到AF/FB=3，即BF/BA=1/4。
2. 用分点向量求O的位置：令B为原点、A=a、C=c，则D=c/4、E=(a+c)/2。写O=(1−t)a+tc/4=u(a+c)/2，比较a、c系数得t=4/5，故O=(a+c)/5。
3. O到BC的高为A到BC的高的1/5，BD/BC=1/4，故S△BDO/S△ABC=1/20。O到AB的高为C到AB的高的1/5，BF/BA=1/4，故S△BFO/S△ABC=1/20。
4. 四边形BDOF由△BDO与△BFO组成，所求面积比为1/20+1/20=1/10。

独立推导的参考解析，不是学生作答记录。

1:2

1. 过D作DX ∥ AB交CE于X。
2. 在△CBE中，CX/CE=CD/CB=1/3，DX/BE=1/3。
3. 因BE=3AE，所以DX=AE。
4. 由△FAE ∽ △FDX得FE=FX。
5. 又CE=CX+XF+FE，且CX=CE/3，故FE=CE/3，FC=2CE/3，因此EF:FC=1:2。

独立推导的参考解析，不是学生作答记录。

1/4

1. 延长FE与CB的延长线交于M。
2. 由AF ∥ MB、AE=EB，△AEF ∽ △BEM，得MB=AF。
3. 又AF=AD/3，MC=MB+BC=AD/3+AD=4AD/3。
4. 由△AGF ∽ △CGM，AG/GC=AF/MC=1/4。

独立推导的参考解析，不是学生作答记录。

5:3:2

1. 过A作AG ∥ BC，与BD的延长线交于G。
2. 因AD=DC，△ADG ∽ △CDB，得AG=BC、DG=DB，故BG=2BD。
3. △BEM ∽ △GAM，BM/MG=BE/AG=1/3，所以BM=BG/4=BD/2。
4. △BFN ∽ △GAN，BN/NG=BF/AG=2/3，所以BN=2BG/5=4BD/5。
5. 于是MN=3BD/10、ND=BD/5，所求比为5:3:2。

独立推导的参考解析，不是学生作答记录。

1/AD=1/AB+1/AC

1. 过C作CE ∥ AD，交BA的延长线于E。
2. 因∠BAD=∠DAC=60°，△ACE为等边三角形，所以AE=CE=AC。
3. 由△BAD ∽ △BEC，AD/CE=AB/BE=AB/(AB+AC)，故AD=AB·AC/(AB+AC)。
4. 两边取倒数得1/AD=1/AB+1/AC。

独立推导的参考解析，不是学生作答记录。

EF=EG。

1. 由角平分线定理，BD:DC=AB:AC=1:2。
2. DE∥AC，故BE/BA=BD/BC=1/3，AE=2AB/3。DF∥AB，故CF/CA=CD/CB=2/3，AF=AC/3=2AB/3。
3. 因此AE=AF，△AEF为等腰三角形。又四边形AEDF是平行四边形，故DE=AF=AE，即△AED也等腰。
4. 给出直接求共线比的截线计算：令B为原点，A、C为两个基向量，则E=A/3，F=(2A+C)/3。直线EF上的点E+t(F−E)=((1+t)A+tC)/3，落在BC直线上时A系数为0，即t=−1。因此G=E−(F−E)，所以EG=EF。

独立推导的参考解析，不是学生作答记录。