2026-09-05 · Maths-Gauss 课程资料
本次整理 source 中的知识、例题和作业。手写答案未纳入检查，错题复习等待 review 材料。
第一讲 · 比例线段（1）
9 个知识点 · 13 道例题 · 12 道作业 · 0 道待确认
本讲知识
- 成比例线段与比例内外项 — 一段绳长2米，另一段长50厘米。先换成200厘米与50厘米，再得比4:1。比描述“前者是后者的几倍”；交换顺序就变成1:4。线段长度为正，比值没有单位。
- 比例基本性质、合比性质与等比性质 — a/b=c/d=k可写为a=kb、c=kd。因此a+c=k(b+d)，当b+d≠0时，(a+c)/(b+d)=k。这是合比，不是把任意两个分数的分子分母直接相加。
- 平行线分线段成比例 — 在△ABC中，D在AB、E在AC且DE∥BC。小三角形的两条边从共同顶点A出发，满足AD/AB=AE/AC；部分比也满足AD/DB=AE/EC。两类比例不要混写。
- 比例定理逆用的条件 — D、E分别在△ABC的边AB、AC内部，若AD/AB=AE/AC，则DE∥BC。关键不只是一个数字比例，还包括两点所在的边与共同顶点。
- 面积分割把局部比例相加 — 遇到多条相交线，先把互不重叠的小区域记作S₁、S₂等。每一次面积比都标明同底还是同高；共享一条边但高度不同并不代表面积相等。
- 添平行线转移比例 — 题图有线段比却没有平行线时，问：若经过某交点作平行线，能否把两条原本不相邻的线段放入同一组截线？辅助线的目的要在作图前说清。
- 中点与共线条件的比例联立 — 一串比式中同一线段可能一处是分子、另一处是整体。先统一AD、DB、AB=AD+DB这样的记号，再把中点关系写成两个长度相等。不要把位置不同的“半段”当作同一段。
- 梯形中的平行截线与交点 — 梯形上底a、下底b。一条与两底平行的截线从上往下位于总高度比例t处，则截线长(1−t)a+tb，0≤t≤1。这是沿高度线性变化，不是面积也线性变化。
- 60°与三等分的投影关系 — 长r的线段与某方向成60°时，该方向投影为r/2。过端点作垂线，把原图分成直角三角形，就能看见这个一半从cos60°而来。
例题
作业
01. 高斯-比例线段1.PDF · 原文件 9 页；本讲题目范围见逐题来源。
比例线段（2）
9 个知识点 · 12 道例题 · 10 道作业 · 0 道待确认
本讲知识
- 平行线分线段成比例 — 在△ABC中，D在AB、E在AC且DE∥BC。小三角形的两条边从共同顶点A出发，满足AD/AB=AE/AC；部分比也满足AD/DB=AE/EC。两类比例不要混写。
- 比例定理逆用的条件 — D、E分别在△ABC的边AB、AC内部，若AD/AB=AE/AC，则DE∥BC。关键不只是一个数字比例，还包括两点所在的边与共同顶点。
- 线束模型与对应分段 — 多条直线经过同一个点O，两条不经过O的平行线截这些直线。若同侧交点A、B、C对应A′、B′、C′，它们到O的长度按同一个倍数变化。
- 添平行线转移比例 — 题图有线段比却没有平行线时，问：若经过某交点作平行线，能否把两条原本不相邻的线段放入同一组截线？辅助线的目的要在作图前说清。
- 中点与共线条件的比例联立 — 一串比式中同一线段可能一处是分子、另一处是整体。先统一AD、DB、AB=AD+DB这样的记号，再把中点关系写成两个长度相等。不要把位置不同的“半段”当作同一段。
- 梯形中的平行截线与交点 — 梯形上底a、下底b。一条与两底平行的截线从上往下位于总高度比例t处，则截线长(1−t)a+tb，0≤t≤1。这是沿高度线性变化，不是面积也线性变化。
- 三角形内外角平分线定理 — △ABC中AD平分∠A且D在BC上，BD/DC=AB/AC。分点两旁的底边段与靠近它们的两腰对应，不是与整条底边相比。
- 三角形中线与重心 — 连接顶点和对边中点的线段叫中线；三条中线共点，这个点叫重心G。重心沿每条中线把它分成靠顶点2份、靠中点1份。
- 用坐标表达共线、平行与分点 — 点P在线段AB内部且AP:PB=m:n，可写P=(nA+mB)/(m+n)，这里大写点代表坐标或位置向量。靠A的系数是n，不能凭字母顺序记反。
例题
作业
01. 高斯-比例线段2.PDF · 原文件 7 页；本讲题目范围见逐题来源。
相似三角形（1）
9 个知识点 · 12 道例题 · 9 道作业 · 0 道待确认
本讲知识
- 相似三角形的定义与对应顺序 — 同一张三角形图片等比例放大，角度不变，所有边乘同一个正数k。这就是相似的直观含义；大小可以不同，所以相似不等于全等。
- 相似三角形的判定 — AA：两角对应相等；SAS：两边对应成比例且夹角相等；SSS：三边对应成比例。这些判定能推出定义要求的全部对应关系。SAS中的夹角不能换成非夹角。
- 相似比、周长比和面积比 — 相似比k指同一方向的对应边比。对应高、中线、角平分线也乘k，因为这些线与边角组成的小三角形仍保持对应。周长为对应边之和，也乘k。
- 旋转相似与外作等边三角形 — 绕O把每点转同一个角，点到O的距离不变，线段长度和角度也不变，因此旋转前后全等。再统一放大k倍，得到旋转相似。
- 梯形中的平行截线与交点 — 梯形上底a、下底b。一条与两底平行的截线从上往下位于总高度比例t处，则截线长(1−t)a+tb，0≤t≤1。这是沿高度线性变化，不是面积也线性变化。
- 倍角条件与边长恒等式 — 设△ABC中∠A=2∠B，边a、b、c分别对A、B、C。由正弦定理a/b=sin2B/sinB=2cosB，故a=2b cosB。这里角、对边的对应必须固定。
- 三角形内外角平分线定理 — △ABC中AD平分∠A且D在BC上，BD/DC=AB/AC。分点两旁的底边段与靠近它们的两腰对应，不是与整条底边相比。
- 垂直平分线与等距构造 — 线段AB的垂直平分线是经过中点且垂直AB的直线。其上每点P满足PA=PB；反过来到A、B等距的点也在该直线上。
- 用坐标表达共线、平行与分点 — 点P在线段AB内部且AP:PB=m:n，可写P=(nA+mB)/(m+n)，这里大写点代表坐标或位置向量。靠A的系数是n，不能凭字母顺序记反。
例题
作业
02. 高斯-相似三角形.PDF · 原文件 12 页；本讲题目范围见逐题来源。
相似三角形（2）
9 个知识点 · 12 道例题 · 10 道作业 · 0 道待确认
本讲知识
- 相似三角形的判定 — AA：两角对应相等；SAS：两边对应成比例且夹角相等；SSS：三边对应成比例。这些判定能推出定义要求的全部对应关系。SAS中的夹角不能换成非夹角。
- 旋转相似与外作等边三角形 — 绕O把每点转同一个角，点到O的距离不变，线段长度和角度也不变，因此旋转前后全等。再统一放大k倍，得到旋转相似。
- 平行截线的循环乘积 — 在一个环形追比问题中，每条平行线先单独产生一个相似/截线比例。为避免错配，把等式两边写为“待消去量”和“待保留量”，再决定相乘顺序。
- 直角三角形的射影定理 — △ABC在C处直角，CD⊥AB，D为垂足。小三角形ACD、CBD与原三角形ABC均由两角相等相似。先画清AB是斜边。
- 倍角条件与边长恒等式 — 设△ABC中∠A=2∠B，边a、b、c分别对A、B、C。由正弦定理a/b=sin2B/sinB=2cosB，故a=2b cosB。这里角、对边的对应必须固定。
- 三角形中线与重心 — 连接顶点和对边中点的线段叫中线；三条中线共点，这个点叫重心G。重心沿每条中线把它分成靠顶点2份、靠中点1份。
- 截线与中线的倒数比例 — 设M为BC中点，D在AB、E在AC的所在直线上，DE经过M。若AD=t·AB、AE=s·AC使用从A出发的有向参数，且t、s非零，则1/t+1/s=2。
- 垂直平分线与等距构造 — 线段AB的垂直平分线是经过中点且垂直AB的直线。其上每点P满足PA=PB；反过来到A、B等距的点也在该直线上。
- 用坐标表达共线、平行与分点 — 点P在线段AB内部且AP:PB=m:n，可写P=(nA+mB)/(m+n)，这里大写点代表坐标或位置向量。靠A的系数是n，不能凭字母顺序记反。
例题
作业
02. 高斯-相似三角形.PDF · 原文件 12 页；本讲题目范围见逐题来源。
比例与相似综合（1）
7 个知识点 · 9 道例题 · 11 道作业 · 0 道待确认
本讲知识
- 旋转相似与外作等边三角形 — 绕O把每点转同一个角，点到O的距离不变，线段长度和角度也不变，因此旋转前后全等。再统一放大k倍，得到旋转相似。
- 中点与共线条件的比例联立 — 一串比式中同一线段可能一处是分子、另一处是整体。先统一AD、DB、AB=AD+DB这样的记号，再把中点关系写成两个长度相等。不要把位置不同的“半段”当作同一段。
- 三角形内外角平分线定理 — △ABC中AD平分∠A且D在BC上，BD/DC=AB/AC。分点两旁的底边段与靠近它们的两腰对应，不是与整条底边相比。
- 等角共轭与角平分线构造 — 从顶点A出发的两条射线AD、AE若满足∠BAD=∠EAC，称在∠A内等角共轭。它们不一定长度相等，也不一定都是角平分线。
- 同弦圆周角与共圆判定 — 四个不同点位于同一个圆上叫四点共圆。对按圆周顺序命名的凸四边形ABCD，∠ABC+∠ADC=180°。这里是对角，不是任意两角。
- 用坐标表达共线、平行与分点 — 点P在线段AB内部且AP:PB=m:n，可写P=(nA+mB)/(m+n)，这里大写点代表坐标或位置向量。靠A的系数是n，不能凭字母顺序记反。
- 坐标法处理垂足、中点与垂直 — 证明AB⊥CD，先算u=B−A、v=D−C。在正交等单位坐标系，u·v=0就能证明两条非退化直线垂直。无需计算斜率，竖直线也能统一处理。
例题
作业
03. 高斯-比例与相似综合.PDF · 原文件 11 页；本讲题目范围见逐题来源。
比例与相似综合（2）
12 个知识点 · 10 道例题 · 9 道作业 · 1 道待确认
待确认的题目
作业 9 · 中点与垂直平分线确定边长
按原文及图示已知条件，AC不能唯一确定；需要补充条件。
本讲知识
- 平行线分线段成比例 — 在△ABC中，D在AB、E在AC且DE∥BC。小三角形的两条边从共同顶点A出发，满足AD/AB=AE/AC；部分比也满足AD/DB=AE/EC。两类比例不要混写。
- 相似三角形的判定 — AA：两角对应相等；SAS：两边对应成比例且夹角相等；SSS：三边对应成比例。这些判定能推出定义要求的全部对应关系。SAS中的夹角不能换成非夹角。
- 几何面积比的代数最值 — 动点在线段内部，可写P=A+t(B−A)，0<t<1。在线段上则0≤t≤1。边界是否允许决定候选最值能不能取到。
- 旋转相似与外作等边三角形 — 绕O把每点转同一个角，点到O的距离不变，线段长度和角度也不变，因此旋转前后全等。再统一放大k倍，得到旋转相似。
- 面积分割把局部比例相加 — 遇到多条相交线，先把互不重叠的小区域记作S₁、S₂等。每一次面积比都标明同底还是同高；共享一条边但高度不同并不代表面积相等。
- 直角三角形的射影定理 — △ABC在C处直角，CD⊥AB，D为垂足。小三角形ACD、CBD与原三角形ABC均由两角相等相似。先画清AB是斜边。
- 倍角条件与边长恒等式 — 设△ABC中∠A=2∠B，边a、b、c分别对A、B、C。由正弦定理a/b=sin2B/sinB=2cosB，故a=2b cosB。这里角、对边的对应必须固定。
- 三角形内外角平分线定理 — △ABC中AD平分∠A且D在BC上，BD/DC=AB/AC。分点两旁的底边段与靠近它们的两腰对应，不是与整条底边相比。
- 等角共轭与角平分线构造 — 从顶点A出发的两条射线AD、AE若满足∠BAD=∠EAC，称在∠A内等角共轭。它们不一定长度相等，也不一定都是角平分线。
- 同弦圆周角与共圆判定 — 四个不同点位于同一个圆上叫四点共圆。对按圆周顺序命名的凸四边形ABCD，∠ABC+∠ADC=180°。这里是对角，不是任意两角。
- 用坐标表达共线、平行与分点 — 点P在线段AB内部且AP:PB=m:n，可写P=(nA+mB)/(m+n)，这里大写点代表坐标或位置向量。靠A的系数是n，不能凭字母顺序记反。
- 四边形的托勒密与平方和不等式 — 四边形的边与对角线关系常来自三角不等式、平方非负或点积展开。先选择一条对角线拆三角形，或用共同原点表示四个顶点，避免凭图长短估计。
例题
作业
03. 高斯-比例与相似综合.PDF · 原文件 11 页；本讲题目范围见逐题来源。
梅涅劳斯定理
5 个知识点 · 12 道例题 · 10 道作业 · 0 道待确认
本讲知识
- 面积分割把局部比例相加 — 遇到多条相交线，先把互不重叠的小区域记作S₁、S₂等。每一次面积比都标明同底还是同高；共享一条边但高度不同并不代表面积相等。
- 三角形内外角平分线定理 — △ABC中AD平分∠A且D在BC上，BD/DC=AB/AC。分点两旁的底边段与靠近它们的两腰对应，不是与整条底边相比。
- 三角形中线与重心 — 连接顶点和对边中点的线段叫中线；三条中线共点，这个点叫重心G。重心沿每条中线把它分成靠顶点2份、靠中点1份。
- 梅涅劳斯定理与共线判定 — △ABC中D∈BC所在直线、E∈CA所在直线、F∈AB所在直线，均不为顶点。一条不经过顶点的截线使D、E、F共线，当且仅当普通长度乘积(BD/DC)(CE/EA)(AF/FB)=1，并满足一个或三个分点在边的外部。
- 用坐标表达共线、平行与分点 — 点P在线段AB内部且AP:PB=m:n，可写P=(nA+mB)/(m+n)，这里大写点代表坐标或位置向量。靠A的系数是n，不能凭字母顺序记反。
例题
作业
04. 高斯-梅涅劳斯定理.PDF · 原文件 6 页；本讲题目范围见逐题来源。
塞瓦定理
4 个知识点 · 12 道例题 · 11 道作业 · 2 道待确认
待确认的题目
例题 3 · 外部等角配置的三线关系
原结论未排除三线互相平行。取A=(1/2,√3/2)、B=(0,0)、C=(1,0)，A₁=(1/2,−tan10°/2)、B₁=(0,tan70°)、C₁=(1,tan70°)，满足配对角条件，但AA₁、BB₁、CC₁为三条不同竖直线。需确认是否补充非平行条件，或将结论改为“共点或平行”；尚未按猜测修改。
作业 11 · 三组对应等角点与共圆
原题未排除M、N、P重合的退化情况。正三角形ABC中取M=N=P=重心，六组角均为30°，全部条件成立，但△MNP无外接圆。需确认是否补充M、N、P互异且不共线；原题结论不能无条件成立。
本讲知识
- 面积分割把局部比例相加 — 遇到多条相交线，先把互不重叠的小区域记作S₁、S₂等。每一次面积比都标明同底还是同高；共享一条边但高度不同并不代表面积相等。
- 塞瓦定理与共点判定 — △ABC中D、E、F分别在BC、CA、AB内部。AD、BE、CF共点当且仅当(BD/DC)(CE/EA)(AF/FB)=1。沿B→C→A→B循环写比，可以避免某一比倒置。
- 角元塞瓦定理 — AD、BE、CF在三角形内部共点。由面积，BD/DC=AB sin∠BAD/(AC sin∠DAC)，其余两条线同理。把这三个式子乘起来，边长因子循环消去。
- 用坐标表达共线、平行与分点 — 点P在线段AB内部且AP:PB=m:n，可写P=(nA+mB)/(m+n)，这里大写点代表坐标或位置向量。靠A的系数是n，不能凭字母顺序记反。
例题
作业
05. 高斯-塞瓦定理.PDF · 原文件 6 页；本讲题目范围见逐题来源。
二次函数的图像与性质
8 个知识点 · 12 道例题 · 11 道作业 · 0 道待确认
本讲知识
- 整值多项式与连续整数乘积 — 整系数多项式代入整数必得整数，但反过来不成立。x(x−1)/2有系数1/2、−1/2，却对任意整数x都是整数，因为相邻两整数的乘积一定为偶数。
- 韦达定理判断根的符号与大小 — 二次式有实根r、s时，a(x−r)(x−s)=ax²−a(r+s)x+ars。比较系数得r+s=−b/a、rs=c/a。使用符号判断前，先确保实根存在。
- 含参数方程的降次与边界检查 — 含参数的式子写着x²，不等于任何参数下都是二次。例：(m−1)x²+2x−3=0，m=1时x²项消失，变成2x−3=0。
- 二次函数定义、配方与三种解析式 — 一般式ax²+bx+c（a≠0）方便读纵轴截距c；顶点式a(x−h)²+k方便读顶点(h,k)；有实根时交点式a(x−r)(x−s)方便读横轴交点r、s。
- 二次函数开口方向与单调性 — y=a(x−h)²+k只看x离h多远。离h越远，平方越大。a>0时函数值越大；a<0时函数值越小。h左右等距的点函数值相同。
- 从抛物线图像读取系数与代数式符号 — a决定开口方向与相同横向偏移时的纵向变化，c=f(0)是纵轴交点。b不能单独读成“左右位置”；对称轴是−b/(2a)，必须结合a。
- 二次方程实根的区间位置 — Δ判根数，根的和积判符号；要求两根都落在某区间，还要把对称轴和端点函数值一起考虑。先画开口和横轴交点示意，再翻译条件。
- 含参数抛物线族的定点与顶点轨迹 — 一族抛物线由参数m控制。每个m产生一个顶点(h(m),k(m))；所有顶点构成轨迹。先用不同字母区分曲线上点的x与族参数m。
例题
作业
06. 高斯-⼆次函数的图像与性质.PDF · 原文件 8 页；本讲题目范围见逐题来源。
二次函数与二次方程、二次不等式
9 个知识点 · 15 道例题 · 10 道作业 · 1 道待确认
待确认的题目
作业 8 · 两抛物线和弧上点（问句缺失）
原页第8题只印出已知条件，没有求值、证明或其他作答要求；需补充完整问句。已核对原页到第9题前的空白区域，不能自行补成距离或面积最值题。
本讲知识
- 判别式、重根与交点个数 — 对实系数二次方程a≠0，Δ=b²−4ac控制实根个数：Δ>0两个不等实根，Δ=0一个二重实根，Δ<0无实根。它并不直接告诉根是正还是负。
- 用根与系数关系化简对称式 — 设两根r、s，和S=r+s、积P=rs。r²+s²=S²−2P；r³+s³=S³−3PS；1/r+1/s=S/P（P≠0）。这些都不必先写根式求根。
- 二次函数开口方向与单调性 — y=a(x−h)²+k只看x离h多远。离h越远，平方越大。a>0时函数值越大；a<0时函数值越小。h左右等距的点函数值相同。
- 二次函数的区间最值与端点自洽 — 在闭区间[l,r]求二次函数最值，候选位置只有两端点以及落在区间内的顶点h。若h不在区间内，函数在区间上单调，最值只在端点。
- 二次函数的最小最大偏差 — 要求|f(x)|≤M，就是同时要求−M≤f(x)≤M。二次函数在闭区间的最大最小只可能位于端点和内部顶点，因此这几个候选能完成全区间检查。
- 二次函数的全局非负与夹逼 — a>0时f(x)=a(x−h)²−Δ/(4a)的最小值是−Δ/(4a)。因此f(x)≥0对所有实数成立等价于Δ≤0；若要求始终>0则Δ<0。
- 二次方程实根的区间位置 — Δ判根数，根的和积判符号；要求两根都落在某区间，还要把对称轴和端点函数值一起考虑。先画开口和横轴交点示意，再翻译条件。
- 二次函数符号、方程实根与不等式解集 — a>0且两根r<s时，a(x−r)(x−s)在两根之外为正、两根之间为负。原因是外侧两因子同号，内部异号；a<0时整体翻号。
- 用已知函数值重组待求量 — 设f(x)=ax²+bx+c，知道三个不同横坐标的函数值，就得到关于a、b、c的三个一次方程。若目标只是某个系数组合，不一定先把三系数全部解出。
例题
作业
08. 高斯-⼆次函数与⼆次⽅程和⼆次不等式.PDF · 原文件 6 页；本讲题目范围见逐题来源。
根的分布
5 个知识点 · 12 道例题 · 8 道作业 · 0 道待确认
本讲知识
- 判别式、重根与交点个数 — 对实系数二次方程a≠0，Δ=b²−4ac控制实根个数：Δ>0两个不等实根，Δ=0一个二重实根，Δ<0无实根。它并不直接告诉根是正还是负。
- 韦达定理判断根的符号与大小 — 二次式有实根r、s时，a(x−r)(x−s)=ax²−a(r+s)x+ars。比较系数得r+s=−b/a、rs=c/a。使用符号判断前，先确保实根存在。
- 含参数方程的降次与边界检查 — 含参数的式子写着x²，不等于任何参数下都是二次。例：(m−1)x²+2x−3=0，m=1时x²项消失，变成2x−3=0。
- 二次方程实根的区间位置 — Δ判根数，根的和积判符号；要求两根都落在某区间，还要把对称轴和端点函数值一起考虑。先画开口和横轴交点示意，再翻译条件。
- 连续函数的区间根定理与选点 — 多项式图像连续。如果f(l)<0而f(r)>0，图像从轴下走到轴上，中途必经过0，所以开区间(l,r)至少有一个实根。连续性是前提。
例题
作业
09. 高斯-二次函数跟根的分布.PDF · 原文件 18 页；本讲题目范围见逐题来源。
二次函数综合（1）
8 个知识点 · 12 道例题 · 8 道作业 · 0 道待确认
本讲知识
- 配方：从完全平方到方程与最值 — x²+6x与(x+3)²只差9，所以x²+6x=(x+3)²−9。加9又减9才能保持原式不变。一般x²+px=(x+p/2)²−p²/4。
- 整值多项式与连续整数乘积 — 整系数多项式代入整数必得整数，但反过来不成立。x(x−1)/2有系数1/2、−1/2，却对任意整数x都是整数，因为相邻两整数的乘积一定为偶数。
- 根式约束换元与平方验根 — 遇到√g(x)，可令t=√g(x)≥0。若原式能写成t的二次式，就把复杂根式变成区间最值。必须确定t真正能取到哪些值，不能只写非负就结束。
- 双二次方程换元与对称根 — ax⁴+bx²+c=0只出现x²的整数次幂，可以令t=x²，得到at²+bt+c=0。换元减少次数，但新变量多了一条限制t≥0。
- 二次函数的区间最值与端点自洽 — 在闭区间[l,r]求二次函数最值，候选位置只有两端点以及落在区间内的顶点h。若h不在区间内，函数在区间上单调，最值只在端点。
- 二次函数的最小最大偏差 — 要求|f(x)|≤M，就是同时要求−M≤f(x)≤M。二次函数在闭区间的最大最小只可能位于端点和内部顶点，因此这几个候选能完成全区间检查。
- 用已知函数值重组待求量 — 设f(x)=ax²+bx+c，知道三个不同横坐标的函数值，就得到关于a、b、c的三个一次方程。若目标只是某个系数组合，不一定先把三系数全部解出。
- 区间有界二次函数的系数估计 — 若|f(x)|≤1在[−1,1]恒成立，尤其在−1、0、1成立。用a=[f(1)+f(−1)−2f(0)]/2得|a|≤2。这一步只用了三个点，是必要估计。
例题
作业
09. 高斯-二次函数跟根的分布.PDF · 原文件 18 页；本讲题目范围见逐题来源。
二次函数综合（2）
11 个知识点 · 11 道例题 · 9 道作业 · 0 道待确认
本讲知识
- 整数根与整系数因式分解 — 对多项式P，若P(r)=0，则P(x)含因子x−r；反过来有这个因子也必有零点r。直观上用x−r除P，余数是常数，把x=r代入就得到余数P(r)。
- 判别式、重根与交点个数 — 对实系数二次方程a≠0，Δ=b²−4ac控制实根个数：Δ>0两个不等实根，Δ=0一个二重实根，Δ<0无实根。它并不直接告诉根是正还是负。
- 韦达定理判断根的符号与大小 — 二次式有实根r、s时，a(x−r)(x−s)=ax²−a(r+s)x+ars。比较系数得r+s=−b/a、rs=c/a。使用符号判断前，先确保实根存在。
- 含参数方程的降次与边界检查 — 含参数的式子写着x²，不等于任何参数下都是二次。例：(m−1)x²+2x−3=0，m=1时x²项消失，变成2x−3=0。
- 双二次方程换元与对称根 — ax⁴+bx²+c=0只出现x²的整数次幂，可以令t=x²，得到at²+bt+c=0。换元减少次数，但新变量多了一条限制t≥0。
- 等式条件与目标表达式 — 先证明所有允许对象都满足F≤M，只说明M是上界。再找一个满足原约束的对象使F=M，才能称最大值。找不到时可能上界不紧，也可能只能趋近。
- 二次函数比值的全局界 — 要证明P(x)/Q(x)≤M，先确认Q(x)>0，再等价为P(x)−M Q(x)≤0。若Q可负，不等号方向会变；若Q=0，原式无定义。
- 二次函数的区间最值与端点自洽 — 在闭区间[l,r]求二次函数最值，候选位置只有两端点以及落在区间内的顶点h。若h不在区间内，函数在区间上单调，最值只在端点。
- 二次函数的全局非负与夹逼 — a>0时f(x)=a(x−h)²−Δ/(4a)的最小值是−Δ/(4a)。因此f(x)≥0对所有实数成立等价于Δ≤0；若要求始终>0则Δ<0。
- 连续函数的区间根定理与选点 — 多项式图像连续。如果f(l)<0而f(r)>0，图像从轴下走到轴上，中途必经过0，所以开区间(l,r)至少有一个实根。连续性是前提。
- 抛物线的对称、弦与坐标几何 — 抛物线上的点P可设为(t,f(t))，这样自动满足在曲线上的条件。横轴交点先解f(x)=0，纵轴交点是(0,c)。点名与参数应固定，避免把横坐标当长度。
例题
作业
09. 高斯-二次函数跟根的分布.PDF · 原文件 18 页；本讲题目范围见逐题来源。
圆的基本定理与四点共圆初步
10 个知识点 · 14 道例题 · 13 道作业 · 1 道待确认
待确认的题目
作业 12 · 角平分线与对边中垂线的交点
原题未排除该角两邻边相等的情形：等腰三角形顶角平分线与底边中垂线重合，没有唯一交点，整条直线上也非每点在外接圆上。需确认是否补充“两直线有唯一交点”（例如AB≠AC）。非退化结论可由角平分线第二交点为对边弧中点证明，但未擅改题干发布答案。
本讲知识
- 三角形内外角平分线定理 — △ABC中AD平分∠A且D在BC上，BD/DC=AB/AC。分点两旁的底边段与靠近它们的两腰对应，不是与整条底边相比。
- 圆的定义、对称与点的位置 — 固定点O和正数R，到O距离恰为R的点组成圆；内部点距离<R，外部点距离>R。圆周和圆内部不是同一概念，题目“至少一点在圆内”不包含恰在圆上。
- 弧、弦、圆心角与垂径定理 — 过圆心O向弦AB作垂线，垂足M为弦中点。因为OA=OB为半径，两个直角三角形OMA、OMB斜边相等且OM公共，由HL全等得AM=BM。
- 圆周角、圆心角与直径 — 圆心角顶点在圆心，圆周角顶点在圆上。两角必须对同一段弧，才能说圆周角是圆心角的一半。若圆周角顶点落在另一段弧，所对弧会改变。
- 同弦圆周角与共圆判定 — 四个不同点位于同一个圆上叫四点共圆。对按圆周顺序命名的凸四边形ABCD，∠ABC+∠ADC=180°。这里是对角，不是任意两角。
- 相交弦、割线乘积与点的幂 — P在圆内，两弦AB、CD交于P，PA·PB=PC·PD。P在圆外，两割线依近远为P-A-B、P-C-D，也有同样的普通长度乘积。必须是从P到两交点的距离，不能把AB当PB。
- 托勒密定理：对角线与对边乘积 — 凸四边形ABCD按圆周顺序内接于同一圆，托勒密定理为AC·BD=AB·CD+BC·AD：两对角线乘积等于两组对边乘积之和。一般四边形不一定取等，不能只看到四边就套公式。
- 圆内接四边形面积：婆罗摩笈多公式 — 圆内接凸四边形四边按顺序为a、b、c、d，半周长s=(a+b+c+d)/2，面积S=√((s−a)(s−b)(s−c)(s−d))。任意四边形在边长固定时还可改变角度，面积不固定。
- 坐标法处理垂足、中点与垂直 — 证明AB⊥CD，先算u=B−A、v=D−C。在正交等单位坐标系，u·v=0就能证明两条非退化直线垂直。无需计算斜率，竖直线也能统一处理。
- 四边形的托勒密与平方和不等式 — 四边形的边与对角线关系常来自三角不等式、平方非负或点积展开。先选择一条对角线拆三角形，或用共同原点表示四个顶点，避免凭图长短估计。
例题
作业
10. 高斯-圆的基本定理与四点共圆初步.PDF · 原文件 8 页；本讲题目范围见逐题来源。
圆幂定理（1）
4 个知识点 · 14 道例题 · 10 道作业 · 0 道待确认
本讲知识
- 相交弦、割线乘积与点的幂 — P在圆内，两弦AB、CD交于P，PA·PB=PC·PD。P在圆外，两割线依近远为P-A-B、P-C-D，也有同样的普通长度乘积。必须是从P到两交点的距离，不能把AB当PB。
- 切线、等切线与切割线定理 — 一条直线与圆只有一个公共点T时称切线，T为切点。圆心到直线的距离等于半径，所以OT垂直切线；反过来过圆上一点且垂直该半径的直线也是切线。
- 内切圆切线段、半周长与面积 — 三角形内切圆分别切AB、BC、CA。由同点两切线等长，A出发两段都记x，B出发记y，C出发记z。于是三边为x+y、y+z、z+x。
- 坐标中的圆幂不变量与根轴 — 圆O₁、O₂对点P的幂分别为|P−O₁|²−R₁²与|P−O₂|²−R₂²。相减时|P|²消去，剩下关于P坐标的一次式，因此不同圆心的等幂点组成一条直线，称根轴。
例题
作业
11. 高斯-圆幂定理.PDF · 原文件 11 页；本讲题目范围见逐题来源。
圆幂定理（2）
3 个知识点 · 10 道例题 · 10 道作业 · 0 道待确认
本讲知识
- 相交弦、割线乘积与点的幂 — P在圆内，两弦AB、CD交于P，PA·PB=PC·PD。P在圆外，两割线依近远为P-A-B、P-C-D，也有同样的普通长度乘积。必须是从P到两交点的距离，不能把AB当PB。
- 切线、等切线与切割线定理 — 一条直线与圆只有一个公共点T时称切线，T为切点。圆心到直线的距离等于半径，所以OT垂直切线；反过来过圆上一点且垂直该半径的直线也是切线。
- 坐标中的圆幂不变量与根轴 — 圆O₁、O₂对点P的幂分别为|P−O₁|²−R₁²与|P−O₂|²−R₂²。相减时|P|²消去，剩下关于P坐标的一次式，因此不同圆心的等幂点组成一条直线，称根轴。
例题
作业
11. 高斯-圆幂定理.PDF · 原文件 11 页；本讲题目范围见逐题来源。